A的秩和AB的秩有什么关系

设A为$m\times n$的矩阵，B为$n\times p$的矩阵，则$AB$为$m\times p$的矩阵。

矩阵A的秩为矩阵A的列向量组的秩，即$r(A)$等于A的列向量组的最大线性无关组的向量个数。

设$A$的列向量组的秩为$r_1$，$AB$的列向量组的秩为$r_2$，则：

1. $r_1\leq n$，$r_2\leq p$
2. $r_1=r(A)$，$r_2=r(AB)$
3. $r_2\leq \min\{r_1,p\}$

因此，$AB$的秩不会超过$A$的秩和$B$的秩的最小值，即$r(AB)\leq \min\{r(A),r(B

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A和AB的秩有确定的大小关系吗

A和AB的秩有确定的大小关系。

具体来说，设A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵，则AB是m行p列的矩阵。根据矩阵乘法的定义，AB的第i行第j列元素为A的第i行与B的第j列的内积。因此，AB的每一行都是A的某些行的线性组合，即AB的行空间被包含在A的行空间中。因此，AB的秩不会超过A的秩。

具体来说，如果A的秩为r，则A的行空间是一个r维向量空间，而AB的行空间被包含在A的行空间中，因此AB的秩不会超过r。事实上，如果A的秩为r，则A的行空间可以通过选取r个线性无关的行得到，而这r个行的线性组合可以得到AB的行空间中的所有向量，因此AB的秩也为r。

可逆阵a的秩和迹之间有什么关系

可逆矩阵a的秩和迹之间有以下关系：

根据矩阵的性质，一个n阶方阵a可逆的条件是它的行列式不等于0，即det(a)≠0。
由线性代数的基本定理可知，行列式不等于0意味着矩阵的秩满足rank(a)=n，即秩等于矩阵的阶数。

另一方面，矩阵的迹（trace）定义为主对角线上各元素的和。在矩阵的运算中，我们可以证明迹也满足以下性质：对于两个矩阵a和b的乘积ab来说，有tr(ab) = tr(ba)。这意味着如果矩阵a可逆，则对于任意矩阵b，有tr(ab) = tr(ba)。

根据这两个性质，我们可以推导出可逆矩阵a的秩和迹的关系如下：
假设a为一个n阶方阵，a可逆，即det(a)≠0。由行列式的定义可得，det(a) = λ1 * λ2 * … * λn，其中λ1, λ2, … , λn是a的特征值。

因为a是可逆的，所以λi≠ 0，i=1,2,…,n。考虑迹的定义，tr(a) = λ1 + λ2 + … + λn。

又因为迹对于矩阵乘法满足tr(ab) = tr(ba)，所以tr(a * a^-1) = tr(a^-1 * a) = tr(I) = n，其中a^-1是a的逆矩阵，I是单位矩阵。

综上所述，可逆矩阵a的秩和迹的关系是rank(a) = n，tr(a) = n。即可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，迹等于阶数。