$\left|\frac{\arctan(x)}{2+e^x}\right| \leq \frac{\pi/2}{2+e^x}$
时间: 2023-09-22 20:12:04 浏览: 43
Since $\arctan(x) \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ for all $x \in \mathbb{R}$, we have $\left|\frac{\arctan(x)}{2 e^x}\right| \leq \frac{\pi/2}{2 e^x}$. To see why, note that $2e^x > 0$ for all $x$, so we can drop the absolute value signs. Then, since $\arctan(x)$ is bounded between $-\frac{\pi}{2}$ and $\frac{\pi}{2}$, dividing by $2e^x$ can only make the quantity smaller. Therefore, we have the inequality $\frac{\arctan(x)}{2 e^x} \leq \frac{\pi/2}{2 e^x}$, and taking the absolute value of both sides gives the desired result.
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如何将$\frac{x^2}{n^4+x^4}\leq \frac{1}{n^2}$显示出来
首先,将不等式两边同乘$n^4+x^4$得到$x^2\leq n^2(n^4+x^4)$。然后,可以继续化简不等式:
$x^2\leq n^2(n^4+x^4) \Rightarrow x^2\leq n^6+n^2x^4 \Rightarrow n^6\geq x^2(n^2-x^2)$
因为$x$和$n$都是正实数,所以可以继续化简不等式:
$n^6\geq x^2(n^2-x^2) \Rightarrow \frac{x^2}{n^2}\leq \frac{n^4}{n^2+x^2}$
然后,将$n^2+x^2$的分母上界估计为$n^2$,即$n^2+x^2\leq 2n^2$,得到:
$\frac{x^2}{n^2}\leq \frac{n^4}{n^2+x^2}\leq \frac{n^4}{2n^2}=\frac{1}{2}n^2$
最后,因为$n$是正实数,所以可以将$\frac{1}{2}n^2$替换为$n^2$,得到:
$\frac{x^2}{n^4+x^4}\leq \frac{1}{n^2}$
把下面一段文字写成我看的懂的形式:由矩阵行列式性质,有$|AB|=|A||B|$ 和 $|A^{-1}|=|A|^{-1}$,则: $$ |A+B^{-1}|=|A^{-1}A+A^{-1}B^{-1}||A+B^{-1}|=|A^{-1}(A+B^{-1})||A+B^{-1}|=|I_3+A^{-1}B^{-1}||A+B^{-1}| $$ 又因为$|A|=3$,$|B|=2$,$|A^{-1}+B|=2$,则: $$ |A^{-1}B^{-1}|=\frac{|A^{-1}+B|-|A^{-1}||B|}{2}=\frac{2-3\times 2}{2}=-\frac{2}{2}=-1 $$ 然后,根据行列式的定义展开计算: $$ \begin{aligned} |I_3+A^{-1}B^{-1}|&=\left|\begin{matrix}1-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\-\frac{1}{2}&1-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&1-\frac{1}{2}\end{matrix}\right|\ &=\left|\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right|+\frac{1}{2}\left|\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right|-\frac{1}{2}\left|\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right|\ &=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{5}{8} \end{aligned} $$ 综上所述,$|A+B^{-1}|=|I_3+A^{-1}B^{-1}||A+B^{-1}|=2\times \frac{5}{8}=\frac{5}{4}$。因此,$|A+B^{-1}|=\frac{5}{4}$。
这段文字在讲如何计算$|A+B^{-1}|$的值。首先,根据矩阵行列式性质,可以得到$|AB|=|A||B|$和$|A^{-1}|=|A|^{-1}$。然后通过一些推导,得到了$|A^{-1}B^{-1}|=-1$和$|I_3+A^{-1}B^{-1}|=\frac{5}{8}$。最后,利用行列式的定义展开计算,得到$|A+B^{-1}|=\frac{5}{4}$。
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