如果={(x,y),||x|+|y|<=1},则\int^{}_{D} \int^{}_{} （( 1976\times e^{x+y+1}\right) /\left( {}e^{2}-1\right) ）dµ=

这是一个关于区域 $D$ 上的二重积分的问题，其中 $D$ 是由不等式 $||x|+|y||\leq 1$ 所确定的区域。

我们可以将该区域拆分成四个象限，进而写出积分式：

$$\int_{-1}^{0}\int_{-1-x}^{1+x}\frac{1976 e^{x+y+1}}{e^2-1}dydx+\int_{0}^{1}\int_{-1+x}^{1-x}\frac{1976 e^{x+y+1}}{e^2-1}dydx$$

对于每个积分式子，我们可以进行以下变量代换：

令 $u=x+y$ 和 $v=x-y$，则有：

$$x=\frac{u+v}{2}, y=\frac{u-v}{2}$$

并且 $|J|=1/2$，其中 $J$ 是由 $x,y$ 到 $u,v$ 的雅可比矩阵。

将变量代换带入原积分式，可以得到：

$$\frac{1976}{2(e^2-1)}\int_{-1}^{0}\int_{-1}^{1}\frac{e^{u+2}}{\cosh(v)+1}dudv+\frac{1976}{2(e^2-1)}\int_{0}^{1}\int_{-1}^{1}\frac{e^{u+2}}{\cosh(v)+1}dudv$$

我们可以对 $v$ 进行换元，令 $v=\arctan t$，则有 $\cosh(v)=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$，并且 $dv=\frac{dt}{1+t^2}$。带入积分式得到：

$$\frac{1976}{2(e^2-1)}\int_{-1}^{0}\int_{-1}^{1}\frac{e^{u+2}}{\sqrt{1-t^2}+1}dudt+\frac{1976}{2(e^2-1)}\int_{0}^{1}\int_{-1}^{1}\frac{e^{u+2}}{\sqrt{1-t^2}+1}dudt$$

再对 $u$ 进行换元，令 $u+2=\ln(1+s)$，则有 $du=\frac{ds}{s}$。带入积分式得到：

$$\frac{1976}{2(e^2-1)}\int_{-1}^{0}\int_{-1}^{1}\frac{s}{\sqrt{1-t^2}+1}\cdot\frac{ds}{s}dt+\frac{1976}{2(e^2-1)}\int_{0}^{1}\int_{-1}^{1}\frac{s}{\sqrt{1-t^2}+1}\cdot\frac{ds}{s}dt$$

对 $s$ 和 $t$ 进行积分，可以得到最终的结果为：

$$\frac{1976}{e^2-1}\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+s)}{\sqrt{1-t^2}+1}ds$$

这个积分可以通过分部积分进行求解，最终答案为：

$$\frac{1976}{2(e^2-1)}\left[(\pi+2)\ln 2 -2\ln(e^2+1)\right]$$

因此，原二重积分的结果为 $\frac{1976}{2(e^2-1)}\left[(\pi+2)\ln 2 -2\ln(e^2+1)\right]$。