arctan(x)/(2+e^x)求积分的收散性 用comparison theorem
时间: 2024-05-25 17:19:08 浏览: 12
我们可以使用比较定理来判断该积分的收敛性或发散性。考虑下面的不等式:
$\left|\frac{\arctan(x)}{2+e^x}\right| \leq \frac{\pi/2}{2+e^x}$
我们知道,$\frac{\pi/2}{2+e^x}$是收敛的,因为分母的增长速度比分子快。因此,根据比较定理,该积分也是收敛的。
相关问题
arcsinx/1+x^2求积分
可以使用部分分式分解法来求解这个积分。
首先,我们对被积函数进行部分分式分解:
arcsinx / (1 + x^2) = A * arctan(x) + B * arcsinx
其中,A 和 B 是待定系数。
然后,我们对这个等式两边同时求导:
d/dx (arcsinx / (1 + x^2)) = d/dx (A * arctan(x) + B * arcsinx)
(1 / (1 + x^2)) * (1 / sqrt(1 - x^2)) / (1 + x^2) = A / (1 + x^2) + B * (1 / sqrt(1 - x^2))
接下来,我们可以取 x = 0,得到:
(1 / 2) * (1 / sqrt(1 - 0^2)) = A / (1 + 0^2) + B * (1 / sqrt(1 - 0^2))
1 / 2 = A + B
接着,我们可以令 x = tan(t),得到:
arcsinx = arctan(t)
1 + x^2 = 1 + tan^2(t) = sec^2(t)
dx/dt = sec^2(t)
将 x 和 dx/dt 用 t 表示,得到:
arcsin(tan(t)) / (1 + tan^2(t)) = A * t' + B * arctan(tan(t))
arctan(sin(t) / cos(t)) / (1 + sin^2(t) / cos^2(t)) = A * sec^2(t) + B * t
cos(t) * arctan(sin(t) / cos(t)) / (cos^2(t) + sin^2(t)) = A * cos^2(t) + B * t * cos^2(t)
cos(t) * arctan(sin(t) / cos(t)) = A * cos^4(t) + B * t * cos^2(t)
令 t = π/4,得到:
arcsin(1/sqrt(2)) / (1 + 1/2) = A * cos^4(π/4) + B * π/4 * cos^2(π/4)
1 / (3 * sqrt(2)) = A * (1/2)^2 + B * (1/2) * π/4
1 / (3 * sqrt(2)) = A / 4 + B * π / (8 * sqrt(2))
联立前面求得的两个式子,解得:
A = (2 * sqrt(2)) / 3
B = (-π * sqrt(2)) / 12
因此,原式的积分为:
∫(arcsinx / (1 + x^2)) dx = (2 * sqrt(2) / 3) * arctan(x) - (π * sqrt(2) / 12) * arcsinx + C
其中,C 为常数项。
计算x/(1+x^2+x^4)^1/2的原函数
计算x / (1 + x^2 + x^4)^(1/2)的原函数,可以使用代换法。令u = 1 + x^2 + x^4,则du/dx = (2x + 4x^3)dx。将x / (1 + x^2 + x^4)^(1/2)中的x用u表示,得到:
x = (u - 1 - u^2)^(1/4)
将x用u表示后,原函数变为:
∫ x / (1 + x^2 + x^4)^(1/2) dx = 1/4 ∫ du / ((u - 1 - u^2)^(1/4))
进行化简,令v = (u - 1)/(u + 1),则有:
∫ dx / ((u - 1 - u^2)^(1/4)) = ∫ dv / (1 - v^2)^(1/4)
变量代换后,原函数变为:
1/4 ∫ dv / (1 - v^2)^(1/4) = 1/4 B(1/4, 3/4) arctan((u - 1)/(u + 1)) + C
其中B(1/4, 3/4)为贝塔函数,C为积分常数。将u用x表示即可得到最终答案。
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