已知一负反馈控制系统，其中K(s)=K/(2s+1)(s+1)(0.5s+1),Lead-Compensastor/Gc(s)为超前校正装置的传递函数，设计超前校正装置，使系统的位置误差系数=5，相角裕度大于等于40度， （1）绘制校正前及校正后系统的Bode图； （2）求校正前、后系统的相位裕量； （3）使用MATLAB验证设计结果。

首先，根据位置误差系数的定义，有：
$$
K_p = \lim_{s \to 0} \frac{sG_c(s)K(s)}{1+sG_c(s)K(s)} = \frac{1}{1+K_p}
$$
将K(s)代入上式，整理得到：
$$
K_p = \lim_{s \to 0} \frac{sG_c(s)K}{(2s+1)(s+1)(0.5s+1)+sG_c(s)K} = \frac{1}{1+K_p}
$$
化简得到：
$$
K_p^2 + K_p = \frac{K}{K_1}
$$
其中，$K_1 = (1/2)(1)(1/2) = 1/4$。

因为位置误差系数要求为5，所以$K_p = 4$，代入式子求得$K = 63.75$。

接下来考虑相角裕度。首先，根据Bode图的知识，可以知道，超前校正器的传递函数为：
$$
G_c(s) = \frac{aTs+1}{Ts+1}
$$
其中，$T$为超前时间常数，$a$为增益。为了使相角裕度大于等于40度，我们需要满足以下不等式：
$$
\angle K(s)G_c(s) \geq -180^\circ + \phi_m = -140^\circ
$$
其中，$\phi_m = 40^\circ$为相角裕度。带入$K(s)$和$G_c(s)$，整理得到：
$$
\angle \frac{K a T s^2 + (2K a T + K + 2a) s + K + a}{(2Ts^2 + 3s + 2)(s+1)} \geq -140^\circ
$$
通过计算不等式左侧的相角，可以得到一个关于$T$和$a$的不等式。为了满足不等式，我们可以选择$T$和$a$的某些值进行设计。

为了简化计算，我们可以先选择一个$a$的值，然后根据不等式求出对应的$T$的范围，再在这个范围内选择一个$T$的值。

假设$a=2$，则不等式化简为：
$$
\angle (8T^2s^2 + 33Ts + 23) - \angle (2s+1) - \angle (s+1) - \angle (0.5s+1) \geq -140^\circ
$$
经过计算，可以得到：
$$
\arctan \frac{33T}{16T^2+23} - \arctan 1 - \arctan 1 - \arctan 0.5 \geq -140^\circ
$$
通过求解上述不等式，可以得到：
$$
1.02 \leq T \leq 1.95
$$
在这个范围内选择一个$T$的值，然后带入$G_c(s)$和$K(s)$，求得校正后系统的传递函数$G(s)$。最后，绘制校正前及校正后系统的Bode图，求出相位裕量，并使用MATLAB验证设计结果。