已知一负反馈控制系统,其中K(s)=K/(2s+1)(s+1)(0.5s+1),Gc(s)为超前校正装置的传递函数,设计超前校正装置,使系统的位置误差系数=5,相角裕度大于等于40度, (1)绘制校正前及校正后系统的Bode图; (2)求校正前、后系统的相位裕量; (3)使用MATLAB验证设计结果。
时间: 2023-12-06 09:41:08 浏览: 138
首先,我们需要根据位置误差系数的要求,确定系统的开环传递函数为:
$$G_o(s)=\frac{K}{2s^3+3.5s^2+1.5s}$$
根据位置误差系数的定义,有:
$$K_p=\lim_{s\to 0}sG(s)G_c(s)$$
代入$G_o(s)$和$G_c(s)$,得到:
$$K_p=\lim_{s\to 0}s\frac{K}{2s^3+3.5s^2+1.5s}\frac{aTs+1}{Ts+1}=\frac{aK}{T}$$
其中,$a$为超前校正器的增益,$T$为超前校正器的时间常数。
因此,要满足位置误差系数$K_p=5$,需要:
$$a=\frac{5T}{K}$$
接下来,我们需要根据相角裕度的要求,设计超前校正器的传递函数$G_c(s)$。由于系统的开环传递函数中的零点在原点附近,因此我们可以设计一个形如$\frac{aTs+1}{Ts+1}$的超前校正器。此时,超前校正器的相位角为:
$$\angle G_c(j\omega)=\arctan\frac{\omega T}{1}-\arctan\frac{\omega aT}{1}$$
要满足相角裕度大于等于40度,需要:
$$\angle G_o(j\omega)+\angle G_c(j\omega)\geq -180^\circ+40^\circ=-140^\circ$$
代入$G_o(s)$和$G_c(s)$,得到:
$$\angle G_o(j\omega)+\angle G_c(j\omega)=\begin{cases}
\arctan\frac{\omega}{1}-\arctan\frac{\omega aT}{1}-\arctan\omega T,\quad &\omega<\frac{1}{T}\\
\arctan\frac{\omega T}{1}-\arctan\frac{\omega aT}{1}-\arctan\frac{1}{\omega},\quad &\omega\geq\frac{1}{T}
\end{cases}$$
为了满足相角裕度的要求,我们需要在$\omega<\frac{1}{T}$的区间内,使上式大于等于$-140^\circ$。因此,我们可以选择$T$和$a$的值,使得在$\omega=\frac{1}{T}$处,上式等于$-140^\circ$。此时,我们有:
$$\tan(-\arctan a-\arctan T)=-\tan 140^\circ$$
解得:
$$aT=2.54$$
因此,我们可以选择$a=1$和$T=2.54$,得到超前校正器的传递函数为$G_c(s)=\frac{2.54s+1}{2.54s+10}$。
接下来,我们可以分别绘制校正前和校正后系统的Bode图,并计算相位裕量,以验证设计结果。代码如下:
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