0-1背包问题分支界限法

0-1背包问题是指有一个固定容量的背包和若干个物品，每个物品有自己的重量和价值，在不超过背包容量的情况下，选择一些物品装入背包，使得背包中物品的总价值最大化。

分支界限法是一种搜索算法，它通过将问题分解成更小的子问题，然后解决这些子问题来解决原始问题。在0-1背包问题中，我们需要在限制总重量的情况下，最大化所选物品的总价值。

分支界限法通过选择一个最优子集，将问题分解为更小的子问题。每次我们选择一个物品，我们可以将其添加到背包中或不添加。我们可以计算背包在添加或不添加物品时的最大值，并将其与当前最优解进行比较。如果当前最大值小于当前最优解，则我们可以继续搜索，否则我们可以停止搜索。

在分支界限法中，我们使用一个优先队列来管理待处理的节点。每个节点代表一个子问题，并包含当前的状态、当前价值和当前重量。我们根据当前状态的最大价值将节点添加到优先队列中。我们始终先处理优先级最高的节点。

这样，我们可以在搜索空间中不断削减，直到找到最优解。

相关问题

0-1背包问题分支界限法c可运行代码实现

以下是使用C语言实现0-1背包问题分支界限法的代码示例：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MAX_N 1000  // 最大物品数量
#define MAX_W 1000  // 最大背包容量

typedef struct {
    int v;  // 物品价值
    int w;  // 物品重量
    double r;  // 物品单位重量价值
} Item;

typedef struct {
    int total_v;  // 当前已选择的物品总价值
    int total_w;  // 当前已选择的物品总重量
    int bound;  // 当前节点的价值上界
    int level;  // 当前节点所在的层数
    int taken[MAX_N];  // 当前已选择的物品列表
} Node;

int n;  // 物品数量
int W;  // 背包容量
Item items[MAX_N];  // 物品列表
Node nodes[MAX_N];  // 节点列表
int max_v = 0;  // 最优解的价值

// 比较函数，用于按照上界从大到小排序
int cmp(const void *a, const void *b) {
    return ((Node *)b)->bound - ((Node *)a)->bound;
}

// 计算节点的价值上界
int calc_bound(Node node) {
    int v = node.total_v;
    int w = node.total_w;
    int i;
    for (i = node.level; i < n; i++) {
        if (w + items[i].w <= W) {
            v += items[i].v;
            w += items[i].w;
        } else {
            v += (W - w) * items[i].r;
            break;
        }
    }
    return v;
}

// 分支界限法求解0-1背包问题
void knapsack() {
    int i, j;  // 循环变量
    int level = 0;  // 当前节点所在的层数
    int total_v = 0;  // 当前已选择的物品总价值
    int total_w = 0;  // 当前已选择的物品总重量
    int bound = 0;  // 当前节点的价值上界
    int taken[MAX_N] = {0};  // 当前已选择的物品列表
    Node root = {total_v, total_w, bound, level, {0}};  // 根节点

    // 计算每个物品的单位重量价值
    for (i = 0; i < n; i++) {
        items[i].r = (double)items[i].v / items[i].w;
    }

    // 将物品按照单位重量价值从大到小排序
    qsort(items, n, sizeof(Item), cmp);

    // 将根节点加入到待处理的节点列表
    nodes[0] = root;
    int num_nodes = 1;

    while (num_nodes > 0) {
        // 选择一个最有前途的节点进行分支
        Node node = nodes[--num_nodes];

        // 如果当前节点的价值上界小于当前最优解的价值，则剪枝
        if (node.bound < max_v) {
            continue;
        }

        // 如果当前节点已经是叶子节点，则更新最优解
        if (node.level == n) {
            max_v = node.total_v;
            continue;
        }

        // 选择该物品的子节点
        Node taken_node = node;
        taken_node.taken[node.level] = 1;
        taken_node.total_v += items[node.level].v;
        taken_node.total_w += items[node.level].w;
        taken_node.bound = calc_bound(taken_node);
        taken_node.level = node.level + 1;

        // 如果该子节点的价值上界大于当前最优解的价值，则将其加入到待处理的节点列表中
        if (taken_node.bound > max_v && taken_node.total_w <= W) {
            nodes[num_nodes++] = taken_node;
        }

        // 不选择该物品的子节点
        Node not_taken_node = node;
        not_taken_node.taken[node.level] = 0;
        not_taken_node.bound = calc_bound(not_taken_node);
        not_taken_node.level = node.level + 1;

        // 如果该子节点的价值上界大于当前最优解的价值，则将其加入到待处理的节点列表中
        if (not_taken_node.bound > max_v) {
            nodes[num_nodes++] = not_taken_node;
        }
    }
}

int main() {
    int i;

    // 读入物品数量和背包容量
    scanf("%d%d", &n, &W);

    // 读入每个物品的价值和重量
    for (i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d%d", &items[i].v, &items[i].w);
    }

    // 求解0-1背包问题
    knapsack();

    // 输出最优解
    printf("%d\n", max_v);

    return 0;
}

在运行时，需要依次输入物品数量、背包容量以及每个物品的价值和重量。程序将输出最优解的价值。

0-1背包分支界限法 写出完整python代码

0-1背包问题是一个经典的动态规划问题，分支界限算法是一种优化搜索策略，用于解决这类组合优化问题。以下是基于Python实现的一个简单版本的0-1背包分支界限算法：

import sys

def knapsackBranchAndBound(weights, values, capacity, max_val, visited):
    if capacity == 0 or len(values) == 0:
        return max_val
    
    # 对每个物品，尝试是否放入背包
    for i in range(len(weights)):
        if not visited[i]:
            # 计算当前物品加入后的最大价值
            cur_max = knapsackBranchAndBound(weights, values, capacity - weights[i], max_val + values[i], visited.copy())
            
            # 如果这个值大于当前最优解，更新最优解
            if cur_max > max_val:
                max_val = cur_max
    
    return max_val

# 示例数据
weights = [5, 4, 6, 3]
values = [10, 8, 15, 9]
capacity = 10
max_val = 0
visited = [False] * len(weights)

# 开始搜索
solution = knapsackBranchAndBound(weights, values, capacity, max_val, visited)
print(f"最优解是：{solution} 元")