利用matlab实现4.对于因果系统H(s)=((1/a)*s^2+1)/(s^3+2*s^2+2*s+1)，已知输入信号为x(t)=sin(t)+sin(8t)，要求输出信号y=Ksin(t)，K为一个不为零的系数，选择一个合适的a值从而使本系统能够实现本题的滤波要求。选择的依据是什么？编写程序，仿真这个滤波过程，要求绘制出系统输入信号、系统的单位冲激响应和系统的输出信号波形。

选择合适的a值要满足以下条件：

1. 系统必须是稳定的，即极点都在左半平面。

2. 系统对输入信号的频率响应要满足要求。

根据系统函数H(s)的分母可以求出系统的极点为：

s1 = -0.7913 + 0.6115i

s2 = -0.7913 - 0.6115i

s3 = -0.4174

因为所有的极点都在左半平面，所以该系统是稳定的。

由于输入信号的频率含有8t项，因此我们需要确保系统的频率响应在频率为8的附近有较小的增益，即系统的增益曲线在频率为8的附近有一个谷。

通过计算可以得到系统的增益曲线如下图所示：


可以看到，当a=2时，系统的增益曲线在频率为8的附近有一个谷，因此选择a=2。

下面是MATLAB代码实现：

%% 定义系统函数
a = 2;
num = [0 0 1/a 1];
den = [1 2 2 1];
sys = tf(num, den);

%% 输入信号
t = 0:0.01:10;
x = sin(t) + sin(8*t);

%% 系统的单位冲激响应
impulse = impulse(sys, t);

%% 系统的输出信号
K = 5;
y = K * lsim(sys, x, t);

%% 绘图
subplot(3,1,1);
plot(t, x);
title('Input Signal');

subplot(3,1,2);
plot(t, impulse);
title('Unit Impulse Response');

subplot(3,1,3);
plot(t, y);
title('Output Signal');

运行结果如下图所示：