试证明一平面二次曲线经两维射影变换后仍为一平面二次曲线。

设一平面二次曲线为 $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$，经过两次射影变换后，变为 $a'x'^2+b'x'y'+c'y'^2+d'x'+e'y'+f'=0$。

我们知道，一维射影变换可以表示为 $x'=\frac{ax+by+c}{gx+hy+k}$，$y'=\frac{dx+ey+f}{gx+hy+k}$ 的形式，其中 $ad-be\neq0$，$g,h,k$ 为常数。

对于一次射影变换，我们可以将其表示成矩阵的形式：

$$
\begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & k
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
1
\end{bmatrix}
$$

对于两次射影变换，我们可以将其表示成两个矩阵相乘的形式：

$$
\begin{bmatrix}
x'' \\
y'' \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a' & b' & c' \\
d' & e' & f' \\
g' & h' & k'
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a' & b' & c' \\
d' & e' & f' \\
g' & h' & k'
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a' & b' & c' \\
d' & e' & f' \\
g' & h' & k'
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\frac{ax+by+c}{gx+hy+k} \\
\frac{dx+ey+f}{gx+hy+k} \\
1
\end{bmatrix}
$$

将 $x''$ 和 $y''$ 的表达式化简后，可以得到：

$$
\begin{aligned}
a''x''^2+b''x''y''+c''y''^2+d''x''+e''y''+f'' &= \frac{(a'agx^2+ab(gy+hx)x+ahy^2+bc(gy+hx)y+c(gy+hx)^2)(gx+hy+k)^2}{(gx+hy+k)^4} \\
&+ \frac{(d'gx+e'hy+f'k)(agx^2+bgxy+chy^2+dgx+ehy+f)}{(gx+hy+k)^3} \\
&+ \frac{(a'bgx^2+b^2(gy+hx)x+c(by+hy^2)+c(gy+hx)y+d(gy+hx)^2)(gx+hy+k)^2}{(gx+hy+k)^4} \\
&+ \frac{(d'hx+e'ky+f'g)(bgx^2+(ah+be)xy+chy^2+dgx+ehy+f)}{(gx+hy+k)^3} \\
&+ \frac{(a'chx^2+bchy(gy+hx)+c^2y^2+c(gy+hx)^2+d(gy+hx)^2)(gx+hy+k)^2}{(gx+hy+k)^4} \\
&+ \frac{(d'kx+e'ky+f'g)(chx^2+bchy(gy+hx)+cy^2+dgx+(ah+be)hy+f)}{(gx+hy+k)^3} \\
&+ \frac{(a'gx+by(gy+hx)+c(gy+hx)^2)(gx+hy+k)^2}{(gx+hy+k)^4} \\
&+ \frac{(d'g+e'h)(agx^2+bgxy+chy^2+dgx+ehy+f)}{(gx+hy+k)^3} \\
&+ \frac{(a'hy^2+bx(gy+hx)+c(gy+hx)^2)(gx+hy+k)^2}{(gx+hy+k)^4} \\
&+ \frac{(d'h+e'k)(bgx^2+(ah+be)xy+chy^2+dgx+ehy+f)}{(gx+hy+k)^3} \\
&+ \frac{(a'g(gy+hx)+b(gy+hx)^2)(gx+hy+k)^2}{(gx+hy+k)^4} \\
&+ \frac{(d'g+e'h)(bgx^2+(ah+be)xy+chy^2+dgx+ehy+f)}{(gx+hy+k)^3} \\
&+ \frac{(a'h(gy+hx)+c(gy+hx)^2)(gx+hy+k)^2}{(gx+hy+k)^4} \\
&+ \frac{(d'h+e'k)(chx^2+bchy(gy+hx)+cy^2+dgx+(ah+be)hy+f)}{(gx+hy+k)^3} \\
&+ \frac{(b'hx+c'ky)(gx+hy+k)}{(gx+hy+k)^2} \\
&+ \frac{(e'gx+f'hy)(gx+hy+k)}{(gx+hy+k)^2} \\
&+ \frac{f'k}{gx+hy+k}
\end{aligned}
$$

可以看到，最终的表达式仍然是一个二次曲线的标准形式，因此经过两次射影变换后，一平面二次曲线仍然是一平面二次曲线。