假定有3种型号的汽车(相当于3个方案)供选购,记作A1,A2,A3,价格、性能和款式为3个属性,记作X1,X2,X3。对于价格X1(单位:万元),3种汽车分别为25,18,12;对于性能X2,采用打分的办法(满分10分),3种汽车分别为9,7,5;对于款式X3,类似地打分为7,7,5。请根据以下要求确定最终决策。 (1)写出以方案为行,属性为列的决策矩阵,并对价格X1 采用一个大数减去原属性值的方法(如果买车的心理价位是30万元,用它减去X1相当于节省的钱)化为效益型从而将决策矩阵统一属性、进一步采用归一化、最大化和模一化方法开展比例尺度变换; (2)使用信息熵法确定属性权重; (3)采用加权和法、加权积法和TOPSIS方法计算方案对目标的权重。
时间: 2023-05-23 18:01:13 浏览: 64
(1) 决策矩阵如下:
| | A1 | A2 | A3 |
| --- | ----------------------------|------------------------------|------------------------------|
| X1 | 5 | 12 | 18 |
| X2 | 9 | 7 | 5 |
| X3 | 7 | 7 | 5 |
其中,X1的化为效益型的公式为Y1=30-X1。
归一化得到:
| | A1 | A2 | A3 |
| --- | ----------------------------|------------------------------|------------------------------|
| X1 | 0.17 | 0.4 | 0.6 |
| X2 | 1 | 0.67 | 0.33 |
| X3 | 1 | 1 | 0.33 |
最大化得到:
| | A1 | A2 | A3 |
| --- | ----------------------------|------------------------------|------------------------------|
| X1 | 0.28 | 0.67 | 1 |
| X2 | 1 | 0.67 | 0.33 |
| X3 | 1 | 1 | 0.33 |
模一化得到:
| | A1 | A2 | A3 |
| --- | ----------------------------|------------------------------|------------------------------|
| X1 | 0.28 | 0.67 | 1 |
| X2 | 0.55 | 0.37 | 0.18 |
| X3 | 0.58 | 0.58 | 0.19 |
(2) 使用信息熵法确定属性权重:
首先,需要计算出每个属性的熵和权重,具体步骤如下:
首先计算每一个决策矩阵元素在该列中所占比例:
p_ij = a_ij / sum(a_j)
其中,a_ij表示第i个方案在第j个属性的属性值,sum(a_j)表示第j个属性的所有属性值之和。
然后,计算每个属性的熵值:
H_j = -sum(p_ij * log(p_ij))
最后,计算每个属性的权重:
w_j = (1 - H_j) / (m - sum(H_k))
其中,m为属性的数量,H_k为其他属性的熵值之和。
将结果代入得:
w1=0.5121, w2=0.2724, w3=0.2154
(3) 采用加权和法、加权积法和TOPSIS方法计算方案对目标的权重。
加权和法:计算每个方案的总得分
score_A1=0.28*w1 + 0.55*w2 + 0.58*w3 = 0.424
score_A2=0.67*w1 + 0.37*w2 + 0.58*w3 = 0.482
score_A3=1*w1 + 0.18*w2 + 0.19*w3 = 0.520
因此,得分最高的方案是A3.
加权积法:计算每个方案的总得分
score_A1=(0.28^w1) * (0.55^w2) * (0.58^w3) = 0.389
score_A2=(0.67^w1) * (0.37^w2) * (0.58^w3) = 0.393
score_A3=(1^w1) * (0.18^w2) * (0.19^w3) = 0.297
因此,得分最高的方案是A2.
TOPSIS方法:计算每个方案的综合距离
为方便计算,首先需要求出正负理想解。
正理想解:每个属性的值都是该属性的最大值。
负理想解:每个属性的值都是该属性的最小值。
正负理想解分别为:
| | 正理想解 | 负理想解 |
| --- | ----------------------------|------------------------------|
| X1 | 1 | 0.28 |
| X2 | 0.55 | 0.18 |
| X3 | 0.58 | 0.19 |
然后,计算每个方案与正负理想解的距离:
方案A1:D1+ = sqrt((0.28-0.17)^2 + (0.55-1)^2 + (0.58-1)^2) ≈ 0.422
D1- = sqrt((1-0.28)^2 + (0.55-0.67)^2 + (0.58-0.33)^2) ≈ 0.811
方案A2:D2+ = sqrt((0.67-0.17)^2 + (0.37-1)^2 + (0.58-1)^2) ≈ 0.743
D2- = sqrt((1-0.67)^2 + (0.55-0.67)^2 + (0.58-0.33)^2) ≈ 0.701
方案A3:D3+ = sqrt((1-0.17)^2 + (0.18-1)^2 + (0.19-0.33)^2) ≈ 0.899
D3- = sqrt((1-1)^2 + (0.55-0.37)^2 + (0.58-0.19)^2) ≈ 0.265
最后,计算每个方案的综合距离得分:
score_A1 = D1- / (D1+ + D1-) ≈ 0.657
score_A2 = D2- / (D2+ + D2-) ≈ 0.485
score_A3 = D3- / (D3+ + D3-) ≈ 0.224
因此,得分最高的方案是A1。
综上,根据加权和法,最优方案为A3;根据加权积法,最优方案为A2;根据TOPSIS方法,最优方案为A1。
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