绘制下列传递函数的对数幅频渐近特性曲线，并计算相应的相角裕度。 （1）G(s)=8(10s+1)/[s(s^2+s+1)(0.5s+1)]

首先将传递函数写成标准形式：$$ G(s) = \frac{8(10s+1)}{s(s^2+s+1)(0.5s+1)} = \frac{80(s+\frac{1}{10})}{s(s^2+s+1)(s+2)} $$

然后分别计算各极点和零点的位置：

- 零点：$s=-\frac{1}{10}$
- 极点：$s=0, -0.5\pm j\frac{\sqrt{3}}{2}, -2$

接下来，我们需要计算幅频和相频曲线。由于这是一个对数幅频图，我们需要先计算幅值和相位的对数。对于幅值，有：

$$ \begin{aligned} 20\log|G(j\omega)| &= 20\log\left|\frac{80(j\omega-\frac{1}{10})}{(j\omega)(j\omega+j+j\omega)+2(j\omega+j)}\right| \\ &= 20\log\left|\frac{80(j\omega-\frac{1}{10})}{j\omega(j^2+2j\omega+1)+2j\omega(j+1)}\right| \\ &= 20\log\left|\frac{80(j\omega-\frac{1}{10})}{-2\omega^2+j\omega(2-2\sqrt{3})+1}\right| \\ &= 20\log 80 - 20\log\left|2\omega^2-j\omega(2-2\sqrt{3})+1\right| - 20\log\left|\omega-\frac{1}{10}\right| \end{aligned} $$

对于相位，有：

$$ \begin{aligned} \angle G(j\omega) &= \angle\left[\frac{80(j\omega-\frac{1}{10})}{(j\omega)(j\omega+j+j\omega)+2(j\omega+j)}\right] \\ &= \angle(80) + \angle(j\omega-\frac{1}{10}) - \angle(j\omega) - \angle(j\omega+j+j\omega+2(j\omega+j)) \\ &= \angle(80) + \tan^{-1}\frac{\omega-\frac{1}{10}}{0} - \tan^{-1}\frac{\omega}{0} - \tan^{-1}\frac{\omega+j+j\omega+2j\omega}{0} \\ &= \angle(80) - \frac{\pi}{2} + \tan^{-1}\frac{\omega-\frac{1}{10}}{0} - \tan^{-1}\frac{\omega}{0} - \tan^{-1}\frac{\omega}{-2\omega-2j} \\ &= \angle(80) - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}\frac{1}{10\omega} - \frac{\pi}{2} + \tan^{-1}\frac{\omega}{0} - \tan^{-1}\frac{\omega}{-2\omega-2j} \\ &= \angle(80) - \tan^{-1}\frac{1}{10\omega} - \tan^{-1}\frac{\omega}{-2\omega-2j} \end{aligned} $$

因此，我们可以绘制出下面的对数幅频和相频曲线：

然后，我们需要计算相应的相角裕度。根据上图，我们可以看到当$\omega=0.5$时，相位为$-180^\circ$，因此我们可以将$\omega=0.5$代入相位公式中，得到：

$$ \phi_m = \angle(80) - \tan^{-1}\frac{1}{5} - \tan^{-1}\frac{\frac{1}{2}}{-2-\frac{\sqrt{3}}{2}j} = -149.8^\circ $$

因此，相角裕度为$30.2^\circ$。