火车从始发站(称为第1站)开出,在始发站上车的人数为a,然后到达第2站,在第2站有人上、下车,但上、下车的人数相同,因此在第2站开出时(即在到达第3站之前)车上的人数保持为a人。从第3站起(包括第3站)上、下车的人数有一定规律:上车的人数都是前两站上车人数之和,而下车人数等于上一站上车人数,一直到终点站的前一站(第n-1站),都满足此规律。现给出的条件是:共有n个车站,始发站上车的人数为a,最后一站下车的人数是m(全部下车)。试问x站开出时车上的人数是多少?
时间: 2023-05-31 20:18:26 浏览: 93
### 回答1:
x站开出时车上的人数为b,其中b表示第x站上车的人数,根据题目中给出的规律,可以得到以下递推式:
b = a, x = 1
b = a, x = 2
b = b(x-1)+ b(x-2)- b(x-3),x > 2
其中,b(x-1)表示第x-1站上车的人数,b(x-2)表示第x-2站上车的人数,b(x-3)表示第x-3站下车的人数。
根据递推式,可以依次计算出每个站开出时车上的人数,直到第n站。最后一站下车的人数是m,因此第n-1站开出时车上的人数为m。
### 回答2:
首先可以列出一个递推式,表示第i站开出时车上的人数s[i]与第i-1站开出时车上的人数s[i-1]之间的关系:
s[i] = s[i-1] + s[i-2] - s[i-3]
其中,s[1]=a,s[2]=a,s[3]=2a,而s[n-1]=m。
接下来可以利用递推式求出s[x]:
s[4] = s[3] + s[2] - s[1] = 3a
s[5] = s[4] + s[3] - s[2] = 5a
s[6] = s[5] + s[4] - s[3] = 8a
...
s[x] = s[x-1] + s[x-2] - s[x-3]
可以发现,s[x]可以表示为斐波那契数列中的第x个数(斐波那契数列的前两项为1,第三项为2,其余项为前两项之和),乘以a。因此:
s[x] = fib(x) * a
其中fib(x)表示斐波那契数列中的第x个数。因此,最终答案为:
s[x] = fib(x) * a
其中x为要求的站数。
### 回答3:
题目中给出了一些条件,需要逐步推导出x站开出时车上的人数。
首先可以确定的是,在第2站开出时车上的人数仍为a人。因为上、下车的人数相同,所以车上的人数并没有改变。
从第3站开始,需要根据给定的规律逐站推导。假设第3站的上车人数为b1,下车人数为a,则在第3站开出时车上的人数为a+b1。
对于第4站,设上车人数为b2,下车人数为b1,则在第4站开出时车上的人数为a+b1+b2。
依此类推,可以列出一个通用的公式,表示第x站开出时车上的人数:
人数 = a + b1 + b2 + ... + bx-2 + bx-1
其中,b1、b2、... 、bx-2、bx-1分别表示从第3站到第x-1站的上车人数。按照题目的规律,这些上车人数的计算方法是前两站上车人数之和。
因此,可以将上式中的b1、b2、...、bx-2、bx-1用Fibonacci数列的公式进行表示:
人数 = a + F(x-3)*a + F(x-2)*a
其中,F(n)表示Fibonacci数列的第n项。将上式中的F(x-3)和F(x-2)展开,得到:
人数 = a + a*(F(x-4)+F(x-3)) + a* F(x-2)
化简后可得到:
人数 = a * F(x-1) + a * F(x-2)
最后,根据题目的条件,将最后一站下车的人数m加入到上式中,即可得到x站开出时车上的人数:
人数 = a * F(x-1) + a * F(x-2) - m
因此,只需要知道始发站上车人数a和终点站下车人数m,就可以根据上式推算出任意站点开出时车上的人数。
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