矩阵A=X*X的转置，如何求X

设矩阵 $A=X X^T$，其中 $X$ 为 $n$ 行 $m$ 列的矩阵。

首先，我们可以得到以下等式：

$$
A^T = (X X^T)^T = (X^T)^T X^T = X X^T = A
$$

这意味着 $A$ 是一个对称矩阵。因此，我们可以将 $A$ 进行对角化，得到：

$$
A = Q \Lambda Q^T
$$

其中，$Q$ 是一个正交矩阵，$\Lambda$ 是一个对角矩阵，对角线上的元素是 $A$ 的特征值。

因为 $A=X X^T$，所以 $A$ 的特征值非负。因此，$\Lambda$ 的对角线上的元素也非负。我们可以将 $\Lambda$ 的非零元素开平方根，得到一个对角矩阵 $D$：

$$
D_{ii} = \begin{cases} \sqrt{\Lambda_{ii}}, & \Lambda_{ii} > 0 \\ 0, & \Lambda_{ii} = 0 \end{cases}
$$

然后，我们可以得到：

$$
X = Q D Q^T
$$

这就是 $X$ 的解。请注意，如果 $A$ 的特征值中有零元素，则 $X$ 将不唯一。此外，如果 $A$ 不是半正定矩阵，则 $X$ 不存在。

相关问题

MATLAB借助法方程组的最小二乘代码 1.形成矩阵A*A和向量A*b. 2，计算楚列斯基因子分解A*A=R*R.3.对解下三角方程组Rw=A*b.4，对x解上三角方程组Rx=w.

MATLAB是一种强大的数值计算工具，可以方便地处理线性代数问题，包括求解最小二乘问题。如果你想要用MATLAB编写解决法方程组最小二乘问题的代码，你可以按照以下步骤：

1. **构建矩阵和向量**:
- 将你的数据表示成矩阵A和向量b，假设A是一个m×n矩阵（每个行是一组观测值，每个列是变量），而b是一个长度为m的向量（对应于观测值的结果）。

   A = ...; % 输入你的系数矩阵
   b = ...; % 输入你的目标向量

2. **计算AA转置和乘积**:
- 要找到最小二乘解，首先计算AA'（A的转置与自身的乘积），这相当于拟合模型的协方差矩阵。

   AAtranspose = A'*A;

3. **特征分解**:
- 接下来，你需要做的是利用Cholesky分解，将AA'分解为LL'形式，即找到一个下三角矩阵L使得AA' = L*L'。在MATLAB中，可以使用`chol`函数。

   L = chol(AAtranspose);

4. **解下三角系统**:
- 计算残差w，然后解出对应的权值向量w，通过乘以L^-T（即L'的逆）和b。

   w = L \ (A * b); % 使用'\', 等同于 inv(L') * (A * b)

5. **最终解x**:
- 最终的最小二乘解x由w经由R的逆计算得出，这里R=L*sqrt(diag(L)), 因为L是下三角，其对角线上非零元素就是它的平方根。

   R = chol(AAtranspose, 'lower'); % 获取下三角矩阵及其对角元素的平方根
   Rx = R \ w; % 解上三角方程得到x

function [score_S, score_U] = test_V_GZSL(V, Sim_S, Sim_U, X) W_S = construct_W(V, Sim_S); W_U = construct_W(V, Sim_U); score_S = X * W_S'; score_U = X * W_U'; end

这段代码是一个测试函数 test_V_GZSL 的实现。它接受参数 V、Sim_S、Sim_U 和 X，并返回两个分数矩阵 score_S 和 score_U。

首先，通过调用 construct_W(V, Sim_S) 构建权重矩阵 W_S。构建 W_S 的具体实现可能在代码的其他部分。

然后，计算 X 与 W_S 的乘积，即 score_S = X * W_S'。其中，X 是输入数据矩阵，W_S' 是 W_S 的转置。

接下来，通过调用 construct_W(V, Sim_U) 构建权重矩阵 W_U。构建 W_U 的具体实现可能在代码的其他部分。

然后，计算 X 与 W_U 的乘积，即 score_U = X * W_U'。其中，X 是输入数据矩阵，W_U' 是 W_U 的转置。

最后，将分数矩阵 score_S 和 score_U 返回给调用者。

请注意，这是对给定代码片段的解释，如果有其他函数或变量定义，请提供更多上下文。