给定有限集合上二元关系的关系矩阵，求其对称闭包的关系矩阵。C语言

以下是一个简单的 C 语言函数，可以输入一个 $n \times n$ 的关系矩阵 $R$，输出其对称闭包 $S$：

#define MAXN 100

void sym_closure(int R[][MAXN], int S[][MAXN], int n) {
    int i, j, k;

    // 将 S 初始化为 R
    for (i = 0; i < n; i++) {
        for (j = 0; j < n; j++) {
            S[i][j] = R[i][j];
        }
    }

    // 将对称元素加入 S 中
    for (i = 0; i < n; i++) {
        for (j = 0; j < n; j++) {
            if (S[i][j] != 0 && S[j][i] != 0) {
                S[j][i] = 1;
            }
        }
    }
}

其中，$R$ 和 $S$ 都是二维数组，每个元素为 $0$ 或 $1$，表示关系矩阵和对称闭包矩阵中的元素是否存在。参数 $n$ 表示矩阵的维度，假定矩阵的行列数均不超过 $100$。函数的具体实现是先将 $S$ 初始化为 $R$，然后遍历 $S$ 中的每个元素，如果该元素和其对称元素都存在，则将对称元素加入到 $S$ 中。

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求对称闭包给定有限集合上二元关系的关系矩阵，求其对称闭包的关系矩阵第一行输入矩阵维数n（n<=100） 第二行至第n+1行输入关系矩阵 输出对称闭包的关系矩阵c语言实现dev-c++5.11实现

下面是对称闭包的 C 代码实现：

#include <stdio.h>

#define MAX_SIZE 100

int main() {
    int n, i, j, k;
    int matrix[MAX_SIZE][MAX_SIZE], closure[MAX_SIZE][MAX_SIZE];

    // 读入矩阵维数和关系矩阵
    scanf("%d", &n);
    for (i = 0; i < n; i++) {
        for (j = 0; j < n; j++) {
            scanf("%d", &matrix[i][j]);
            closure[i][j] = matrix[i][j];  // 初始化闭包矩阵
        }
    }

    // 对称闭包算法
    for (k = 0; k < n; k++) {
        for (i = 0; i < n; i++) {
            for (j = 0; j < n; j++) {
                if (closure[i][k] && closure[k][j]) {
                    closure[i][j] = 1;
                }
            }
        }
    }

    // 输出对称闭包矩阵
    for (i = 0; i < n; i++) {
        for (j = 0; j < n; j++) {
            printf("%d ", closure[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

    return 0;
}

其中，`matrix` 数组存放原始关系矩阵，`closure` 数组存放对称闭包矩阵。算法使用三重循环，依次遍历所有可能的路径，如果路径两端都有关系，则认为它们之间也有关系。

需要注意的是，算法的时间复杂度为 $O(n^3)$，因此当矩阵维数较大时，运行时间会很长。

给定有限集合上二元关系的关系矩阵，求由其诱导出的等价关系的关系矩阵。

给定有限集合 $X$ 上二元关系的关系矩阵 $R$，其中 $R_{i,j}=1$ 表示 $i$ 和 $j$ 有关系，否则 $R_{i,j}=0$。我们可以通过该关系矩阵构造出等价关系的关系矩阵。

具体地，我们可以用传递闭包算法（Transitive Closure）来求得该关系对应的等价关系。传递闭包算法的基本思想是：从给定关系的矩阵出发，通过迭代的方式不断扩展关系，直到关系满足传递性为止。

我们定义 $R^{(k)}$ 表示 $R$ 的第 $k$ 次幂，即 $R^{(k)}=R\times R\times...\times R$（$k$ 个 $R$ 相乘）。显然，$R^{(1)}=R$。我们可以依次求出 $R^{(2)},R^{(3)},...$ 直到 $R^{(n)}$ 不再发生变化为止，此时 $R^{(n)}$ 就是关系 $R$ 的传递闭包。

求得传递闭包后，我们可以根据等价关系的定义，构造出其关系矩阵 $E$。具体地，对于 $x,y\in X$，如果 $x$ 和 $y$ 在等价关系下等价，则 $E_{x,y}=1$，否则 $E_{x,y}=0$。

因此，等价关系的关系矩阵 $E$ 可以通过以下公式计算得到：

$$E=R^{(n)}$$

其中 $n$ 是满足 $R^{(n)}=R^{(n+1)}$ 的最小正整数。