算法c++实验分析 1、<验证> 输入背包容量，物品数量、价值及重量，利用动态规划法解决0-1背包问题，要求输出装入物品的对应指示向量，并分析该算法性能。 2、<探索> 当背包允许物品部分装入时，重新设计动态规划策略，满足背包承载最大时价值最高，输出指示向量，并与问题1结果相比较，同时分析算法性能差异。

对于问题1，动态规划解决0-1背包问题的时间复杂度为O(nW)，其中n为物品数量，W为背包容量。具体实现过程中，可以使用一个二维数组dp[i][j]表示在前i件物品中选择一些物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。根据动态转移方程dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])，可以求解出最大价值。最后倒序遍历dp数组确定放入背包的物品。

对于问题2，可以将0-1背包问题转换成部分背包问题。具体实现过程中，可以使用一个一维数组dp[j]表示在容量为j的背包中所能获得的最大价值。根据动态转移方程dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]]+v[i])，可以求解出最大价值。同时，记录下放入背包的物品数量和对应的价值，即可输出指示向量。

相比于问题1，问题2的时间复杂度为O(nW)，空间复杂度为O(W)。可以看出，问题2在时间和空间上都优于问题1。

相关问题

编写算法c++程序实现： 1、<验证> 输入背包容量，物品数量、价值及重量，利用动态规划法解决0-1背包问题，要求输出装入物品的对应指示向量，并分析该算法性能。 2、<探索> 当背包允许物品部分装入时，重新设计动态规划策略，满足背包承载最大时价值最高，输出指示向量，并与问题1结果相比较，同时分析算法性能差异。

好的，以下是C++代码实现：

问题1：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

void knapsack_01(int capacity, vector<int>& weights, vector<int>& values, int n) {
    vector<vector<int>> K(n + 1, vector<int>(capacity + 1, 0));
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        for (int w = 0; w <= capacity; w++) {
            if (i == 0 || w == 0)
                K[i][w] = 0;
            else if (weights[i - 1] <= w)
                K[i][w] = max(values[i - 1] + K[i - 1][w - weights[i - 1]], K[i - 1][w]);
            else
                K[i][w] = K[i - 1][w];
        }
    }

    int res = K[n][capacity];
    cout << "最大价值为：" << res << endl;

    int w = capacity;
    for (int i = n; i > 0 && res > 0; i--) {
        if (res == K[i - 1][w])
            continue;
        else {
            cout << "选择物品" << i << endl;
            res -= values[i - 1];
            w -= weights[i - 1];
        }
    }
}

int main() {
    int capacity = 50;
    vector<int> weights = { 10, 20, 30 };
    vector<int> values = { 60, 100, 120 };
    int n = weights.size();

    knapsack_01(capacity, weights, values, n);

    return 0;
}

问题2：

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;

struct Item {
    int weight;
    int value;
    double ratio;
};

bool cmp(Item a, Item b) {
    return a.ratio > b.ratio;
}

void fractional_knapsack(int capacity, vector<int>& weights, vector<int>& values, int n) {
    vector<Item> items(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        items[i].weight = weights[i];
        items[i].value = values[i];
        items[i].ratio = (double)values[i] / weights[i];
    }
    sort(items.begin(), items.end(), cmp);

    int current_weight = 0;
    int current_value = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (current_weight + items[i].weight <= capacity) {
            current_weight += items[i].weight;
            current_value += items[i].value;
            cout << "选择物品" << i + 1 << "全部装入" << endl;
        }
        else {
            int remaining_capacity = capacity - current_weight;
            double value_per_weight = (double)items[i].value / items[i].weight;
            double fraction = (double)remaining_capacity / items[i].weight;
            current_weight += remaining_capacity;
            current_value += fraction * items[i].value;
            cout << "选择物品" << i + 1 << "装入部分，装入比例为" << fraction << endl;
        }
    }
    cout << "总价值为：" << current_value << endl;
}

int main() {
    int capacity = 50;
    vector<int> weights = { 10, 20, 30 };
    vector<int> values = { 60, 100, 120 };
    int n = weights.size();

    fractional_knapsack(capacity, weights, values, n);

    return 0;
}

以上代码中，`knapsack_01`函数和`fractional_knapsack`函数分别实现了问题1和问题2的动态规划算法。其中，`knapsack_01`函数的输入参数为背包容量、物品重量列表、物品价值列表和物品数量；`fractional_knapsack`函数的输入参数与之相同。两个函数均输出装入物品的对应指示向量和最大价值（或总价值）。

编写C++程序实现： 1、<验证> 输入背包容量，物品数量、价值及重量，利用动态规划法解决0-1背包问题，要求输出装入物品的对应指示向量，并分析该算法性能。 2、<探索> 当背包允许物品部分装入时，重新设计动态规划策略，满足背包承载最大时价值最高，输出指示向量，并与问题1结果相比较，同时分析算法性能差异。

好的，我理解了你的要求，我将分别回答你的两个问题。

1. C++程序实现0-1背包问题的动态规划算法

0-1背包问题是一种经典的优化问题，其思想是在给定的物品中选择一些物品，使得它们的总价值最大，同时不超过背包的容量限制。这个问题可以通过动态规划求解，具体实现如下：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// 0-1背包问题的动态规划算法
void knapsack01(int C, vector<int> w, vector<int> v)
{
    int n = w.size();
    vector<vector<int>> dp(n+1, vector<int>(C+1, 0));
    vector<int> x(n, 0);

    // 动态规划过程
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= C; j++) {
            if (w[i-1] <= j && dp[i-1][j-w[i-1]] + v[i-1] > dp[i-1][j]) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i-1]] + v[i-1];
                x[i-1] = 1;
            }
            else {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
        }
    }

    // 输出结果
    cout << "物品选择情况：" << endl;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cout << x[i] << " ";
    }
    cout << endl << "最大总价值为：" << dp[n][C] << endl;
}

int main()
{
    // 输入数据
    int C, n;
    cout << "请输入背包容量C和物品数量n：";
    cin >> C >> n;
    vector<int> w(n), v(n);
    cout << "请输入每个物品的重量和价值：";
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> w[i] >> v[i];
    }

    // 调用函数
    knapsack01(C, w, v);

    return 0;
}

上述代码通过二维数组 `dp` 记录了每个子问题的最优解，同时使用一维数组 `x` 记录了选择的物品情况。该算法的时间复杂度为 $O(nC)$，空间复杂度为 $O(nC)$。

2. C++程序实现可以部分装入的背包问题

在部分装入的背包问题中，物品可以被分割为任意大小的部分，因此一个物品可以选择装入一部分，而不必全部装入或全部不装入。这个问题可以通过动态规划求解，具体实现如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

// 01背包问题的动态规划算法
void knapsack_fraction(int C, vector<int> w, vector<int> v)
{
    int n = w.size();
    vector<pair<double,int>> vw(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        vw[i] = make_pair((double)v[i]/w[i], i);
    }
    sort(vw.rbegin(), vw.rend());

    vector<double> x(n, 0);
    double value = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (w[vw[i].second] <= C) {
            x[vw[i].second] = 1;
            value += v[vw[i].second];
            C -= w[vw[i].second];
        }
        else {
            x[vw[i].second] = (double)C/w[vw[i].second];
            value += x[vw[i].second] * v[vw[i].second];
            C = 0;
            break;
        }
    }

    // 输出结果
    cout << "物品选择情况：" << endl;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cout << x[i] << " ";
    }
    cout << endl << "最大总价值为：" << value << endl;
}

int main()
{
    // 输入数据
    int C, n;
    cout << "请输入背包容量C和物品数量n：";
    cin >> C >> n;
    vector<int> w(n), v(n);
    cout << "请输入每个物品的重量和价值：";
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> w[i] >> v[i];
    }

    // 调用函数
    knapsack_fraction(C, w, v);

    return 0;
}

上述代码中，我们首先计算每个物品的单位价值，然后对物品按照单位价值从大到小排序，依次选择单位价值最大的物品直到背包容量不足为止。如果最后还有剩余的背包容量，则将其全部分配给单位价值最大的物品。这个算法的时间复杂度为 $O(n\log n)$。

总结：部分装入背包问题的算法在一定程度上放宽了背包问题的限制，可以得到更优的结果。但是，由于需要排序，其时间复杂度较高，因此在实际应用中需要根据具体情况选择使用哪种算法。