编写分段二次插值程序，计算双曲函数f(x)=sinh x在[0,1]上的点x=0.61处的近似值，使其误差不超过10^（-6）

分段二次插值程序的实现可以分为以下几个步骤：

1. 定义原始数据：在本例中，原始数据是双曲函数 f(x) 在区间 [0,1] 上的若干个离散点。

2. 划分区间：为了进行分段插值，需要将区间 [0,1] 划分为若干个子区间，每个子区间内使用二次多项式进行插值。

3. 计算二次多项式系数：对于每个子区间，使用已知的两个端点和函数值，计算出一个二次多项式的系数。

4. 插值计算：对于给定的插值点，先找到其所在的子区间，然后使用对应的二次多项式计算出插值结果。

5. 计算误差：使用给定的误差限制，计算出在插值点处的误差是否满足要求。

下面是一个简单的 MATLAB 代码实现：

% 定义原始数据
x = linspace(0,1,11);
y = sinh(x);

% 划分区间
interval = [0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1];

% 计算二次多项式系数
p = zeros(3,10);
for i = 1:10
    p(:,i) = polyfit(x(i:i+1),y(i:i+1),2);
end

% 插值计算
x_interp = 0.61;
idx = find(x_interp >= interval,1,'last');
y_interp = polyval(p(:,idx),x_interp);

% 计算误差
f = @(x) sinh(x);
eps = 1e-6;
err = abs(y_interp - f(x_interp));
while err > eps
    % 如果误差不满足要求，则继续增加插值点
    x = [x, x_interp];
    y = [y, f(x_interp)];
    
    % 重新计算二次多项式系数
    p(:,idx) = polyfit(x(idx:idx+1),y(idx:idx+1),2);
    
    % 重新计算插值结果和误差
    y_interp = polyval(p(:,idx),x_interp);
    err = abs(y_interp - f(x_interp));
end

% 输出结果
fprintf('插值结果为：%.6f\n',y_interp);
fprintf('插值点个数为：%d\n',length(x));

在这个代码中，我们首先定义了原始数据 x 和 y，然后将区间 [0,1] 分为了 10 个子区间，并计算出了每个子区间内的二次多项式系数。接着，我们使用 polyval 函数计算出了在插值点 x_interp = 0.61 处的插值结果 y_interp，并计算了其与真实函数值的误差。如果误差不满足给定的要求，则继续增加插值点，并重新计算二次多项式系数、插值结果和误差，直到误差满足要求为止。最后，我们输出了插值结果和插值点个数。