基于几何直观,用作图方式验证约束优化问题局部解的一阶必要性条件
时间: 2024-06-01 22:10:39 浏览: 10
首先,我们需要明确一阶必要性条件的含义:若一个点是局部最优解,则该点的梯度为零。
考虑一个二次约束优化问题:
$$
\min_{x \in \mathbb{R}^2} f(x) \quad \text{s.t.} \quad x^T M x = 1
$$
其中,$M$ 是对称正定矩阵,$f(x)$ 是一个连续可微函数。
我们可以将约束条件 $x^T M x = 1$ 等价地表示为一个圆的方程:
$$
(x_1-a)^2 + (x_2-b)^2 = r^2
$$
其中,$a$ 和 $b$ 是圆心的 $x$ 和 $y$ 坐标,$r$ 是圆的半径。
为了方便起见,我们假设 $M$ 已经被对角化:
$$
M = Q^T \Lambda Q
$$
其中,$Q$ 是正交矩阵,$\Lambda$ 是对角矩阵。
我们可以通过旋转矩阵 $R$ 来将椭圆变成圆:
$$
R = Q^T \begin{bmatrix} \sqrt{\lambda_1} & 0 \\ 0 & \sqrt{\lambda_2} \end{bmatrix} Q
$$
我们将 $x$ 变换成 $y = Rx$,则原问题可以表示为:
$$
\min_{y \in \mathbb{R}^2} g(y) \quad \text{s.t.} \quad y^T y = 1
$$
其中,
$$
g(y) = f(R^{-1}y)
$$
我们可以通过画图来验证一阶必要性条件。具体地,我们画出函数 $g(y)$ 的等高线和圆 $y^T y = 1$,然后观察等高线和圆的交点。
如果交点处的梯度不为零,则该点不是局部最优解。如果交点处的梯度为零,则该点可能是局部最优解。
下面是一个示例图:
![image.png](attachment:image.png)
在这个示例中,交点处的梯度为零,因此该点可能是局部最优解。
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