有一个由数字1，2，3，···，9组成的数字串（长度不超过200），问如何将M（M<=20）个加号（“+”）插入到这个数字串中，使所形成的算数 表达式的值最小。请编写算法解决这个问题，C语言实现

您可以使用动态规划来解决这个问题。

首先，我们定义一个二维数组 $dp[i][j]$，表示将前 $i$ 个数字分成 $j$ 段所能得到的最小值。由于每一段的数字串长度不超过 200，所以 $j$ 的范围为 $1 \leq j \leq \min(i, M+1)$。

接下来，考虑如何求解 $dp[i][j]$。我们可以枚举最后一段的起始位置 $k$，则前面的 $j-1$ 段的范围为 $[0, k-1]$，最后一段的范围为 $[k, i-1]$。因此，$dp[i][j]$ 可以通过 $dp[k][j-1]$ 和 $sum[k+1][i]$（表示数字串从位置 $k+1$ 到位置 $i$ 的和）来计算：

$$dp[i][j] = \min_{k=j-1}^{i-1} \{ dp[k][j-1] + sum[k+1][i] \}$$

最终的答案就是 $dp[n][M+1]$，其中 $n$ 表示数字串的长度。

C 代码实现如下：

相关问题

有一个由数字1，2，…….9组成的数字串长度不超过200问如何将m个加号插入到这个数字串中，使所形成的算术表达式的值最小

这是一个经典的问题，可以使用贪心算法来解决。

首先，我们观察到，对于两个数字a和b，它们组成的两个两位数ab和ba，其中ab<b a，所以我们应该尽可能地使高位数值小。

因此，我们可以将数字串拆分为若干个长度为1或2的子串，然后将加号插入到每个相邻的子串之间。这样，每个子串都是一个数，我们只需要将这些数相加就可以得到最终的表达式值。

接下来，我们考虑如何在每个相邻的子串之间插入加号。我们可以使用贪心算法，每次在当前位置和下一个位置之间插入加号，使得当前位置和下一个位置组成的数字串的值最小。具体来说，我们可以从左到右扫描每个子串，对于每个子串，我们可以将加号插入到当前位置和下一个位置之间，然后计算两个子串组成的数字串的值，选取值最小的位置作为插入加号的位置。由于这样的插入方式使得高位数值最小，所以得到的表达式值也是最小的。

最后，我们需要注意的是，如果需要插入的加号数量超过了可用的位置数，那么就无法构造出合法的表达式。

有一个由数字1，2，…，9组成的数字串，长度不超过200，问如何将M（1≤M≤20）个加号插入这个数字串中，使得所形成的算法表达式的值最小

这是一个经典的动态规划问题，可以用类似背包问题的思路来解决。具体来说，可以用一个二维数组f[i][j]来表示前i个数字插入j个加号后所得到的最小值，状态转移方程如下：

f[i][j] = min{f[k][j-1] + cost(k+1,i)}

其中，cost(k+1,i)表示从第k+1个数字到第i个数字组成的数字串转化为整数所需要的代价，即cost(k+1,i) = value[k+1][i]，其中value[k+1][i]表示从第k+1个数字到第i个数字组成的数字串所表示的整数。

初始化时，f[i][0] = value[1][i]，即不插入加号的情况。最终结果为f[n][m]，其中n为数字串的长度。

Java代码如下：

public class NumberString {
    public static int getMinValue(String s, int m) {
        int n = s.length();
        int[][] f = new int[n+1][m+1];
        int[][] value = new int[n+1][n+1];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int num = 0;
            for (int j = i; j < n; j++) {
                num = num * 10 + (s.charAt(j) - '0');
                value[i+1][j+1] = num;
            }
        }
        // 初始化
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            f[i][0] = value[1][i];
        }
        // 状态转移
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            for (int i = j+1; i <= n; i++) {
                f[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
                for (int k = j; k < i; k++) {
                    f[i][j] = Math.min(f[i][j], f[k][j-1] + value[k+1][i]);
                }
            }
        }
        // 最终结果
        return f[n][m];
    }
}

其中，s是数字串，m为插入的加号数，调用getMinValue方法即可得到最小值。