对于某二分类器，已知它包含 4 个正例，5 个反例。下图是它的 ROC 曲线。 （a）请画出该二分类器对应的 ROC曲线，简述画图思路。

由于只有4个正例和5个反例，我们可以列出所有可能的分类结果，并根据它们的真实标签和预测概率计算出TPR和FPR。具体步骤如下：

1. 将所有样本按照预测概率从高到低排序。
2. 从高到低逐一选择每个样本作为正例，其余样本为负例，同时计算出当前的TPR和FPR。
3. 将所有(TPR, FPR)点画在ROC曲线上。

根据上述步骤，我们可以得到以下ROC曲线：


其中，横轴为FPR，纵轴为TPR。ROC曲线上的每个点对应于不同的阈值下的分类结果。由于ROC曲线是从左下角到右上角的凸函数，因此我们可以通过ROC曲线的形状来判断分类器的性能。例如，曲线越靠近左上角，分类器的性能越好。

相关问题

对于某二分类器，已知它包含 4 个正例，5 个反例。下图是它的 ROC 曲线。 （a）请画出该二分类器对应的 ROC 曲线，简述画图思路。

由于该二分类器已知包含 4 个正例和 5 个反例，我们可以列出下表：

| 预测结果 | 实际情况 |
| :------: | :------: |
| True | True |
| True | True |
| True | False |
| False | False |
| False | False |
| False | False |
| False | False |
| False | False |
| False | False |

然后，我们可以根据预测结果和实际情况计算不同阈值下的真正率（True Positive Rate，TPR）和假正率（False Positive Rate，FPR），并将其绘制成 ROC 曲线。ROC 曲线的横坐标是 FPR，纵坐标是 TPR。

首先，我们可以将阈值设定为最大值，即所有样本都被预测为负例。此时，TPR=0，FPR=0，对应于 ROC 曲线上的左下角点。

接着，我们将阈值从大到小依次移动。当阈值等于 1 时，有一个样本被预测为正例，其中一个是真正例，即 TPR=1/4，FPR=0，对应于 ROC 曲线上的第二个点。

当阈值等于 0.67 时，有两个样本被预测为正例，其中两个是真正例，即 TPR=2/4，FPR=0.2，对应于 ROC 曲线上的第三个点。

当阈值等于 0.5 时，有三个样本被预测为正例，其中两个是真正例，即 TPR=2/4，FPR=0.4，对应于 ROC 曲线上的第四个点。

当阈值等于 0.33 时，有四个样本被预测为正例，其中两个是真正例，即 TPR=2/4，FPR=0.6，对应于 ROC 曲线上的第五个点。

当阈值等于 0 时，所有样本都被预测为正例。此时，TPR=1，FPR=1，对应于 ROC 曲线上的右上角点。

最终，我们将这些点连接起来，就得到了该二分类器对应的 ROC 曲线，如下图所示：


对于某二分类器，已知它包含 4 个正例，5 个反例。下图是它的 ROC 曲线。 （a）请画出该二分类器对应的 PR 曲线，简述画图思路。

为了画出该二分类器对应的 PR 曲线，我们需要先计算出不同阈值下的精确率（Precision）和召回率（Recall），然后将这些点按照 Recall 从大到小排序，并且用插值的方式连接它们，就可以得到 PR 曲线。

具体地，我们可以按照如下步骤计算出不同阈值下的 Precision 和 Recall：

1. 将样本按照分类器输出的概率从大到小排序。
2. 从最大概率开始，将前 k 个样本作为正例，其余作为反例，计算 Precision 和 Recall。
3. 依次计算出不同 k 值下的 Precision 和 Recall。

下面是具体的计算过程和结果：

| 阈值 | TP | FP | TN | FN | Precision | Recall |
| ---- | -- | -- | -- | -- | --------- | ------ |
| 0 | 4 | 5 | 0 | 0 | 0.44 | 1.00 |
| 0.2 | 4 | 4 | 1 | 0 | 0.50 | 1.00 |
| 0.4 | 4 | 3 | 2 | 0 | 0.57 | 1.00 |
| 0.6 | 4 | 2 | 3 | 0 | 0.67 | 1.00 |
| 0.8 | 4 | 1 | 4 | 0 | 0.80 | 1.00 |
| 1 | 4 | 0 | 5 | 0 | 1.00 | 1.00 |

按照 Recall 从大到小排序后，得到的点为：

| Recall | Precision |
| ------ | --------- |
| 1.00 | 0.44 |
| 1.00 | 0.50 |
| 1.00 | 0.57 |
| 1.00 | 0.67 |
| 1.00 | 0.80 |
| 1.00 | 1.00 |

最后，我们将这些点连接起来，就可以得到 PR 曲线。下面是该二分类器对应的 PR 曲线：

其中，横轴为 Recall，纵轴为 Precision。