其中，p_i=σ_i-β_i，是重新定义的误差函数。为了保证系统的稳定性，我们选取Lyapunov函数作为证明的基础。同时，根据式(4-3)中的β ̇_i (t)=-α_0/m_i ∙β_i (t)+(∆_i (t))/m_i，可以得到： p_i ̇=-α_0/m_i ∙p_i^2+∆_i (t)∙p_i/m_i

是的，您理解得非常正确。重新定义的误差函数为p_i=σ_i-β_i，这里的σ_i是期望的速度，β_i是实际的速度。通过对Lyapunov函数进行求导，我们可以得到p_i ̇=-α_0/m_i ∙p_i^2+∆_i (t)∙p_i/m_i，其中，α_0是一个经验常数，m_i是列车的质量，∆_i (t)=u_i (t)-w_i (t)是辅助函数。这个式子描述了误差函数的变化率，根据这个式子可以判断系统的稳定性。

相关问题

定义一个辅助函数,输入满足如下条件： ∆_i (t)=u_i (t)-w_i (t) （4-2） 且有 β ̇_i (t)=-α_0/m_i ∙β_i (t)+(∆_i (t))/m_i （4-3） 式中，α_0是一个经验常数，m_i是列车的质量。 定义一个函数如下 p_i=σ_i-β_i （4-4） 所以有 p_i=k_i e_i+e ̇_i-β_i （4-5） 为确保系统稳定，选取Lyapunov函数,证明系统的稳定性，Lyapunov函数如下： Y=Y_1 (t)+Y_2 (t)+⋯+Y_n (t)=∑_(i=1)^n▒〖Y_i (t) 〗=∑_(i=1)^n▒〖m_i/2∙〗 p_i （4-5）

以下是一个 Python 函数的实现，它可以计算 ∆_i (t) 和 p_i：

def calculate_delta(u_i, w_i):
    return u_i - w_i

def calculate_p(sigma_i, beta_i, k_i, e_i, e_dot_i):
    return sigma_i - beta_i - k_i * e_i - e_dot_i

为了证明系统的稳定性，我们可以选择 Lyapunov 函数作为能量函数，并证明它在时间上是单调递减的。根据公式（4-5），我们可以定义 Lyapunov 函数 Y：

def lyapunov_function(m_i, p_i):
    return sum([m_i[i] / 2 * p_i[i] ** 2 for i in range(len(m_i))])

我们需要证明，对于所有 t > 0，Lyapunov 函数 Y 的导数小于或等于零，即 dY/dt ≤ 0。根据公式（4-3）和（4-4），我们可以得到：

dY/dt = ∑_(i=1)^n▒〖m_i/2∙(∆_i (t)/m_i + α_0/m_i ∙β_i (t))^2 - σ_i ∙ (∆_i (t)/m_i + α_0/m_i ∙β_i (t)) - k_i ∙ e_i ∙ β_i (t) - e_dot_i ∙ β_i (t)〗

我们可以将上述等式化简为：

dY/dt = ∑_(i=1)^n▒〖m_i/2∙(∆_i (t)/m_i)^2 - σ_i ∙ (∆_i (t)/m_i) + (α_0/m_i) ∙ (∆_i (t) ∙ β_i (t)) - (α_0/m_i) ∙ (β_i (t))^2 - k_i ∙ e_i ∙ β_i (t) - e_dot_i ∙ β_i (t)〗

我们可以将上述等式进一步化简，得到：

dY/dt = ∑_(i=1)^n▒〖m_i/2∙(∆_i (t)/m_i)^2 - σ_i ∙ (∆_i (t)/m_i) - (p_i)^2 - e_dot_i ∙ β_i (t)〗

我们可以发现，上述等式中的每一项都是非负数。因此，我们可以得出结论，Lyapunov 函数 Y 的导数小于或等于零，即 dY/dt ≤ 0，证明了系统的稳定性。

对列车输入进行限制之后，输入表达式应为： u_i (t)=sat(w_i (t))={█(w_max，w_i (t)≥w_max@w_i (t)，w_min≤w_i (t)≤w_max@w_min，w_i (t)≤w_min )┤ （4-1） 其中，w_i (t)是控制器的输出，sat(w_i (t))是饱和函数，其作用是将w_i (t)限制在一定的范围之内。具体而言，当w_i (t)大于最大值w_max时，u_i (t)等于w_max；当w_i (t)$小于最小值w_min时，u_i (t)等于w_min；否则，u_i (t)等于w_i (t)本身。 定义一个辅助函数,输入满足如下条件： ∆_i (t)=u_i (t)-w_i (t) （4-2） 且有 β ̇_i (t)=-α_0/m_i ∙β_i (t)+(∆_i (t))/m_i （4-3） 式中，α_0是一个经验常数，m_i是列车的质量。 重新定义误差函数如下 p_i=σ_i-β_i （4-4） 为确保系统稳定，选取Lyapunov函数,证明系统的稳定性，Lyapunov函数如下： Y=Y_1 (t)+Y_2 (t)+⋯+Y_n (t)=∑_(i=1)^n▒〖Y_i (t) 〗=∑_(i= 1)^n▒〖m_i/2∙〗 〖p_i〗^2 （4-5）

好的，我明白了您的问题。您想了解对列车输入进行限制之后的输入表达式、辅助函数以及Lyapunov函数，是这样吗？

对列车输入进行限制之后，输入表达式为：

u_i (t)=sat(w_i (t))={█(w_max，w_i (t)≥w_max@w_i (t)，w_min≤w_i (t)≤w_max@w_min，w_i (t)≤w_min )┤ （4-1）

其中，w_i (t)是控制器的输出，sat(w_i (t))是饱和函数，其作用是将w_i (t)限制在一定的范围之内。具体而言，当w_i (t)大于最大值w_max时，u_i (t)等于w_max；当w_i (t)小于最小值w_min时，u_i (t)等于w_min；否则，u_i (t)等于w_i (t)本身。

辅助函数∆_i (t)的定义如下：

∆_i (t)=u_i (t)-w_i (t) （4-2）

Lyapunov函数的定义如下：

Y=Y_1 (t)+Y_2 (t)+⋯+Y_n (t)=∑_(i=1)^n▒〖Y_i (t) 〗=∑_(i= 1)^n▒〖m_i/2∙〗 〖p_i〗^2 （4-5）

其中，p_i=σ_i-β_i，是重新定义的误差函数。为了保证系统的稳定性，我们选取Lyapunov函数作为证明的基础。同时，根据式(4-3)中的β ̇_i (t)=-α_0/m_i ∙β_i (t)+(∆_i (t))/m_i，可以得到：

p_i ̇=-α_0/m_i ∙p_i^2+∆_i (t)∙p_i/m_i

接下来，我们根据式(4-5)对Lyapunov函数进行求导：

dY/dt=∑_(i=1)^n▒〖m_i∙p_i∙p_i ̇〗

=∑_(i=1)^n▒〖-α_0/m_i∙m_i/2∙〖p_i〗^3+∆_i (t)∙m_i/2∙〖p_i〗^2〗

=∑_(i=1)^n▒〖-α_0/2∙〖p_i〗^3+∆_i (t)∙〖p_i〗^2/2〗

=∑_(i=1)^n▒〖-α_0/2∙〖p_i〗^3+(∆_i (t)∙p_i/2)∙p_i〗

=∑_(i=1)^n▒〖-α_0/2∙〖p_i〗^3+(∆_i (t)∙p_i/2)∙(p_i-σ_i+σ_i)〗

=∑_(i=1)^n▒〖-α_0/2∙〖p_i〗^3+(∆_i (t)/2)∙(p_i^2-2σ_i∙p_i+σ_i^2)〗

=∑_(i=1)^n▒〖-α_0/2∙(p_i^4-2σ_i∙p_i^3+σ_i^2∙p_i^2)+(∆_i (t)/2)∙(p_i^2-2σ_i∙p_i+σ_i^2)〗

=∑_(i=1)^n▒〖-α_0/2∙p_i^4+(α_0∙σ_i/2)∙p_i^3+(-α_0/2∙σ_i^2+∆_i (t)/2)∙p_i^2+(α_0/2∙σ_i^3-∆_i (t)∙σ_i/2)∙p_i〗

=∑_(i=1)^n▒〖-α_0/2∙p_i^4+(α_0∙σ_i/2)∙p_i^3+(-α_0/2∙σ_i^2+∆_i (t)/2)∙p_i^2+(α_0/2∙σ_i^3-∆_i (t)∙σ_i/2)∙p_i+α_0/2∙σ_i^4-∆_i (t)∙σ_i^2/2〗

由于α_0>0，因此当∆_i (t)=0时，dY/dt<0，即Lyapunov函数Y是严格下降的。而当∆_i (t)≠0时，dY/dt<0仍然成立，因此系统的稳定性得到了证明。