平稳随机序列x(n)通过一个单位冲击响应为h(n)的线形时不变系统,求输出的数学期望
时间: 2023-09-14 20:05:48 浏览: 55
### 回答1:
假设平稳随机序列为 $x(n)$,单位冲击响应为 $h(n)$,输出为 $y(n)$。
则输出可以表示为:
$$y(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k)h(n-k)$$
输出的数学期望为:
$$\begin{aligned} E\{y(n)\} &= E\{\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k)h(n-k)\} \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} E\{x(k)h(n-k)\} \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} E\{x(k)\}h(n-k) \\ &= E\{x(n)\}*\sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k) \end{aligned}$$
因为 $x(n)$ 是平稳随机序列,所以 $E\{x(n)\}$ 是常数。而 $\sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k)$ 是系统的冲击响应的加和,也是常数。因此,输出的数学期望为常数,即:
$$E\{y(n)\} = E\{x(n)\}*\sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k)$$
这个结果也可以理解为,线性时不变系统不会改变输入信号的统计特性,只会对其进行线性变换。因此,输出的数学期望等于输入的数学期望乘以系统的冲击响应的加和。
### 回答2:
平稳随机序列x(n)经过一个单位冲击响应为h(n)的线性时不变系统,输出的数学期望可以通过计算得到。
根据线性时不变系统的定义,输入序列经过系统后,输出序列的数学期望等于输入序列的数学期望。
假设输入序列x(n)的数学期望为μx,则输出序列的数学期望为μy。
由于系统的单位冲击响应为h(n),当输入序列为单位冲击信号时,输出序列为系统对单位冲击响应的加权和。即:
y(n) = Σ[x(k) * h(n-k)]
其中Σ表示求和,k为求和的变量。
假设单位冲击信号在n=0时发生,即h(0)=1,其他时刻都为0。那么上述公式可以简化为:
y(n) = x(n) * h(0) = x(n)
因此,输出序列y(n)与输入序列x(n)完全相同。由于输入序列的数学期望为μx,因此输出序列的数学期望也为μx。
所以,经过一个单位冲击响应为h(n)的线性时不变系统,输出的数学期望与输入的数学期望相等,即μy = μx。
因此,输出的数学期望为μx。
### 回答3:
根据线性时不变系统的性质,输入为平稳随机序列x(n)通过单位冲击响应h(n)得到的输出可以表示为y(n) = h(n) * x(n),其中*表示卷积操作。
对于离散信号的卷积操作,可以通过求和来进行计算。所以,输出序列y(n)的数学期望可以表示为E[y(n)],即求y(n)的期望。
根据期望的性质,可以将期望操作移到求和符号内部,得到E[y(n)] = E[h(n) * x(n)]。
由于x(n)是一个平稳随机序列,它的数学期望可以表示为E[x(n)] = μx,其中μx表示x(n)的均值。
同样地,h(n)也是一个平稳序列,它的数学期望可以表示为E[h(n)] = μh,其中μh表示h(n)的均值。
我们知道,x(n)和h(n)的均值都是常数,所以可以将均值操作与求和操作交换次序,得到E[y(n)] = E[h(n) * x(n)] = μh * μx。
最终,通过一个单位冲击响应为h(n)的线形时不变系统输出的数学期望为μh * μx。