举例证明对于无向简单图 G,如果对于每个顶点 v,满足 deg(v) ≥ n/2,则 G 是一个哈密尔顿图。而条件 deg(v) ≥ n/2-1 无法保证 G 是哈密尔顿图。
时间: 2024-03-03 11:50:36 浏览: 54
好的,我会使用具体的例子来证明这个结论。
首先,我们证明如果对于无向简单图 G,如果对于每个顶点 v,满足 $deg(v) ≥ n/2$,则 G 是一个哈密尔顿图。
考虑一个无向简单图 G,它有 6 个顶点和 9 条边,如下图所示:
```
1 --- 2 --- 3
| | |
6 --- 5 --- 4
```
对于这个图,每个顶点的度数都是 3,即 $deg(v) = 3$。根据条件 $deg(v) ≥ n/2$,我们可以得到 $n/2 = 3$,因此每个顶点的度数都大于等于 3。根据 Dirac 定理,我们可以得出这个图是一个哈密尔顿图。
接下来,我们证明条件 deg(v) ≥ n/2-1 无法保证 G 是哈密尔顿图。
考虑一个无向简单图 H,它有 5 个顶点和 6 条边,如下图所示:
```
1 --- 2 --- 3
| |
5 --- 4
```
对于这个图,每个顶点的度数都是 2 或 3,其中 $deg(v) = 2$ 的顶点有 2 个,$deg(v) = 3$ 的顶点有 3 个。根据条件 $deg(v) ≥ n/2-1$,我们可以得到 $n/2-1 = 1$,因此每个顶点的度数都大于等于 1。但是,这个图并不是一个哈密尔顿图,因为它不存在一条包含所有顶点的路径。
因此,我们可以得出结论:对于无向简单图 G,如果对于每个顶点 v,满足 $deg(v) ≥ n/2$,则 G 是一个哈密尔顿图。而条件 $deg(v) ≥ n/2-1$ 无法保证 G 是哈密尔顿图。