的,对矩阵进行初等行变换,变 换前后矩阵的行、列向量组有何关系;(可给出一些简单的例子以说明);
时间: 2023-06-13 16:04:10 浏览: 92
对矩阵进行初等行变换相当于对矩阵的行向量组进行一系列线性变换,因此变换后的行向量组可以表示为变换前的行向量组的线性组合。同时,由于矩阵的列向量组也是行向量组的转置,因此对矩阵进行初等行变换的过程中,矩阵的列向量组也会发生相应的变化。
以下是一些例子:
1. 对于一个3x3的矩阵:
$$
A=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
$$
如果对第二行进行初等行变换,将其乘以2然后加到第一行上,得到矩阵:
$$
A'=\begin{bmatrix}
1+2\times4 & 2+2\times5 & 3+2\times6 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
9 & 12 & 15 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
$$
可以看出,变换后的矩阵的第一行向量是变换前的矩阵的第一行向量和第二行向量的线性组合。
2. 对于一个2x3的矩阵:
$$
B=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}
$$
如果对第一行进行初等行变换,将其乘以2,得到矩阵:
$$
B'=\begin{bmatrix}
2 & 4 & 6 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}
$$
可以看出,变换后的矩阵的第一行向量是变换前的矩阵的第一行向量的倍数,变换后的矩阵的第二行向量与变换前的矩阵的第二行向量相同,因为没有对第二行进行变换。
需要注意的是,对矩阵进行初等行变换可以改变矩阵的秩、行列式等性质,因此在应用初等行变换时需要谨慎处理。