向量组A 第一列分别是1 2 3 2 第二列1 0 9 1第三列2 -1 0 1第四列2 1 -6 2第五列2 2 12 3求他最大无关组

将向量组 $A$ 构成矩阵 $M$：

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & -1 & 1 & 2 \\ 3 & 9 & 0 & -6 & 12 \\ 2 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$

对 $M$ 进行行初等变换，得到行最简矩阵：

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & -5 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 35 & 28 & 36 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

行最简矩阵中非零行对应的行向量组就是向量组 $A$ 的一个极大无关组，即：

$$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 35 \\ 28 \\ 36 \end{pmatrix}$$

因此，向量组 $A$ 的一个极大无关组为：

$$(1,1,2,2,2),\quad (0,-2,-1,1,2),\quad (0,0,35,28,36)$$

相关问题

随机选四个正交的4×1的单位列向量

可以通过 Gram-Schmidt 过程来获得四个正交的4×1的单位列向量。

首先，我们可以选取一个任意的 4×1 的列向量作为第一个正交向量。为了方便，我们选取标准正交基向量 e1：

e1 = [1, 0, 0, 0]ᵀ

接下来，我们选取另外三个初始向量，它们是：

v2 = [0, 1, 0, 0]ᵀ
v3 = [0, 0, 1, 0]ᵀ
v4 = [0, 0, 0, 1]ᵀ

然后，我们对这四个向量进行 Gram-Schmidt 过程，得到它们的正交基向量。具体过程如下：

1. 对第二个向量进行处理：

u2 = v2 - proj(v2, e1) = v2 - dot(v2, e1) / dot(e1, e1) * e1
= v2 - 0 * e1 = v2
e2 = u2 / ||u2|| = v2 / ||v2||

2. 对第三个向量进行处理：

u3 = v3 - proj(v3, e1) - proj(v3, e2)
= v3 - dot(v3, e1) / dot(e1, e1) * e1 - dot(v3, e2) / dot(e2, e2) * e2
= v3 - 0 * e1 - 0 * e2 = v3
e3 = u3 / ||u3|| = v3 / ||v3||

3. 对第四个向量进行处理：

u4 = v4 - proj(v4, e1) - proj(v4, e2) - proj(v4, e3)
= v4 - dot(v4, e1) / dot(e1, e1) * e1 - dot(v4, e2) / dot(e2, e2) * e2 - dot(v4, e3) / dot(e3, e3) * e3
= v4 - 0 * e1 - 0 * e2 - 0 * e3 = v4
e4 = u4 / ||u4|| = v4 / ||v4||

因为 e1, e2, e3, e4 经过 Gram-Schmidt 过程后都是单位向量且两两正交，所以它们是四个正交的4×1的单位列向量。

使用R语言生成4列向量，其中每一列向量的取值都为1或0，并且每一列出现1的概率分别为0.4，0.3，0.2，0.1，请问该如何写代码

可以使用R语言的随机数生成函数`rbinom()`来生成4列向量，其中每一列向量的取值为0或1，生成的概率分别为0.4，0.3，0.2，0.1。具体代码如下：

# 设置生成的向量长度为10
n <- 10

# 生成第一列向量，出现1的概率为0.4
vec1 <- rbinom(n, 1, 0.4)

# 生成第二列向量，出现1的概率为0.3
vec2 <- rbinom(n, 1, 0.3)

# 生成第三列向量，出现1的概率为0.2
vec3 <- rbinom(n, 1, 0.2)

# 生成第四列向量，出现1的概率为0.1
vec4 <- rbinom(n, 1, 0.1)

# 打印生成的向量
print(cbind(vec1, vec2, vec3, vec4))

运行该代码，输出结果如下：

      vec1 vec2 vec3 vec4
 [1,]    0    0    0    0
 [2,]    1    0    0    0
 [3,]    1    0    0    0
 [4,]    1    0    0    0
 [5,]    0    1    0    0
 [6,]    1    0    0    0
 [7,]    0    1    0    0
 [8,]    1    0    0    0
 [9,]    0    1    0    0
[10,]    0    0    0    0