(2,-1,-1,-1,1)(0,2,-1,4,-1)(1,0,0,2,1)(2,0,0,4,2)求此矩阵的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用其这个极大线性无关组线性表示.

将矩阵化为行阶梯形式：

$$
\begin{bmatrix}
2 & -1 & -1 & -1 & 1 \\
0 & 2 & -1 & 4 & -1 \\
1 & 0 & 0 & 2 & 1 \\
2 & 0 & 0 & 4 & 2 \\
\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
2 & -1 & -1 & -1 & 1 \\
0 & 2 & -1 & 4 & -1 \\
0 & 1 & 1 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 3 & 0 \\
\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
2 & -1 & -1 & -1 & 1 \\
0 & 2 & -1 & 4 & -1 \\
0 & 1 & 1 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$

可以看出该矩阵的秩为 $3$。将第一、二、三列作为极大线性无关组，则有：

$$
\begin{aligned}
&\begin{bmatrix}2 \\ 0 \\ 1 \\ 2\end{bmatrix} = 2\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} \\
&\begin{bmatrix}-1 \\ 2 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} = -\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} \\
&\begin{bmatrix}-1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} = -\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} \\
\end{aligned}
$$

因此，极大线性无关组为 $\left\{\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}\right\}$，将第四列线性表示为：

$$
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}2 \\ 4 \\ 3 \\ 4\end{bmatrix} &= 2\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} \\
&= 2\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

因此，矩阵的秩为 $3$，极大线性无关组为 $\left\{\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}\right\}$，并且第四列可以用极大线性无关组线性表示为 $2\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}$。