用分治策略设计一个算法，对任意的n构造相应的Gray码

算法思路：
对于任意的n，我们可以先求出n-1位的Gray码，然后在前面添加一个0，再将前面的Gray码倒序并在前面添加1，将这两个序列合并即可得到n位的Gray码。

算法实现：

def gray_code(n):
    if n == 1:
        return ['0', '1']
    else:
        prev_gray_code = gray_code(n-1)
        gray_code_0 = []
        gray_code_1 = []
        for code in prev_gray_code:
            gray_code_0.append('0' + code)
        for code in prev_gray_code[::-1]:
            gray_code_1.append('1' + code)
        return gray_code_0 + gray_code_1

算法复杂度分析：
假设T(n)为求n位Gray码的时间复杂度，则T(n) = 2T(n-1) + O(2^(n-1))。因为在求n位Gray码时，需要先求n-1位Gray码，所以需要递归调用T(n-1)。每一个n-1位Gray码需要翻转并添加1，所以需要O(2^(n-1))的时间复杂度。因此，T(n) = 2T(n-1) + O(2^(n-1)) = O(2^n)。

相关问题

用分治策略设计一个C++算法，对任意的n构造相应的Gray码

以下是使用分治策略设计的C语言算法，用于构造任意n位Gray码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

void graycode(int n, int* arr){
    if(n == 1){
        arr[0] = 0;
        arr[1] = 1;
    }
    else{
        graycode(n-1, arr);
        int i, j;
        for(i = (1 << (n-1)), j = 0; i < (1 << n); i++, j++){
            arr[i] = arr[(1 << (n-1)) - j - 1] | (1 << (n-1));
        }
    }
}

int main(){
    int n;
    printf("Enter the number of bits: ");
    scanf("%d", &n);

    int* arr = (int*)malloc(sizeof(int) * (1 << n));

    graycode(n, arr);

    printf("The Gray code for %d bits is:\n", n);
    for(int i = 0; i < (1 << n); i++){
        printf("%d ", arr[i]);
    }
    printf("\n");

    free(arr);

    return 0;
}

该算法将n位Gray码的构造分为两个步骤：

1. 对于n=1的情况，直接初始化数组为{0, 1}；
2. 对于n>1的情况，先递归构造n-1位Gray码，然后将这些Gray码的每个二进制数左移一位，在前面加上1，并倒序排列后再与原来的Gray码拼接起来，即可得到n位Gray码。

例如，对于n=3的情况，先构造n=2的Gray码{0, 1, 3, 2}，然后将它们左移一位得到{0, 2, 6, 4}，在前面加上1得到{1, 3, 7, 5}，倒序排列得到{5, 7, 3, 1}，最后将这些数与原来的Gray码{0, 1, 3, 2}拼接起来得到{0, 1, 3, 2, 5, 7, 6, 4}，即为n=3的Gray码。

该算法的时间复杂度为O(2^n)，与Gray码的总数相同。

用分治策略设计一个C++算法，对任意的n构造相应的二进制Gray码

分治思路：

- 当n=1时，Gray码为0,1
- 当n>1时，将n分为两半，分别构造前一半的Gray码和后一半的Gray码
- 前一半的Gray码每个数的二进制数前加0，后一半的Gray码每个数的二进制数前加1
- 将前一半的Gray码和后一半的Gray码组合起来，得到n位的Gray码

C 代码实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

void gray_code(int n, int* result) {
    if (n == 1) {
        result[0] = 0;
        result[1] = 1;
        return;
    }
    gray_code(n-1, result);
    int size = 1 << (n-1);
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        result[2*size-1-i] = result[i] | (1 << (n-1));
    }
}

void print_gray_code(int n) {
    int size = 1 << n;
    int* result = (int*)malloc(size * sizeof(int));
    gray_code(n, result);
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        printf("%d ", result[i]);
    }
    printf("\n");
    free(result);
}

int main() {
    print_gray_code(3);
    return 0;
}

输出结果：

0 1 3 2 6 7 5 4