求二维正态分布的均值的联合置信区间
时间: 2024-05-25 07:17:20 浏览: 19
假设有 $n$ 个二维正态分布的样本 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)$,样本均值为 $(\bar{x},\bar{y})$,样本协方差矩阵为
$$S = \begin{pmatrix} s_{xx} & s_{xy} \\ s_{xy} & s_{yy} \end{pmatrix}$$
则二维正态分布的均值 $(\mu_x,\mu_y)$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的联合置信区间为
$$\left[ \begin{pmatrix} \bar{x} \\ \bar{y} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} t_{\frac{\alpha}{2},n-1} \sqrt{\frac{s_{xx}}{n}} \\ t_{\frac{\alpha}{2},n-1} \sqrt{\frac{s_{yy}}{n}} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \bar{x} \\ \bar{y} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t_{\frac{\alpha}{2},n-1} \sqrt{\frac{s_{xx}}{n}} \\ t_{\frac{\alpha}{2},n-1} \sqrt{\frac{s_{yy}}{n}} \end{pmatrix} \right]$$
其中,$t_{\frac{\alpha}{2},n-1}$ 是自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布的上分位点。
相关问题
用python求二维正态分布的总体均值
假设我们有一个二维正态分布,其中 $X_1$ 和 $X_2$ 是两个随机变量,它们的期望分别为 $\mu_1$ 和 $\mu_2$,方差分别为 $\sigma_1^2$ 和 $\sigma_2^2$,协方差为 $\sigma_{12}$。则该二维正态分布的概率密度函数为:
$$f(x_1,x_2)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(x_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x_1-\mu_1)(x_2-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(x_2-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]\right)$$
其中 $\rho$ 表示 $X_1$ 和 $X_2$ 的相关系数。
我们可以通过计算二维正态分布的期望来求出总体均值。二维正态分布的期望为:
$$E(X_1)=\mu_1$$
$$E(X_2)=\mu_2$$
因此,二维正态分布的总体均值为:
$$(\mu_1,\mu_2)$$
下面是一个 Python 实现的示例代码:
```python
import numpy as np
def bivariate_normal_mean(mu1, mu2, sigma1, sigma2, rho):
return np.array([mu1, mu2])
```
其中,`mu1` 和 `mu2` 分别为 $X_1$ 和 $X_2$ 的期望,`sigma1` 和 `sigma2` 分别为 $X_1$ 和 $X_2$ 的标准差,`rho` 表示 $X_1$ 和 $X_2$ 的相关系数。
二维正态分布总体均值代码
以下是二维正态分布总体均值的代码示例:
```python
import numpy as np
# 定义二维正态分布的总体均值
mean = [2, 3]
# 定义协方差矩阵
cov = [[1, 0.5], [0.5, 2]]
# 生成二维正态分布的样本数据
data = np.random.multivariate_normal(mean, cov, size=1000)
# 计算样本均值
sample_mean = np.mean(data, axis=0)
print("二维正态分布的总体均值为:", mean)
print("样本均值为:", sample_mean)
```
运行结果:
```
二维正态分布的总体均值为: [2, 3]
样本均值为: [2.04094526 2.92471679]
```
其中,`numpy.random.multivariate_normal` 方法用于生成二维正态分布的样本数据,`numpy.mean` 方法用于计算样本均值。