(1) 运用Matlab编程共轭梯度法的程序, 求解下面的数值算例: min⁡f (x)=100(x_1^2-x_2 )^2+(x_1-1)^2, 取不同的初始值点,ε=10^(-4).

好的，我可以为您提供一个使用 Matlab 编写的共轭梯度法程序来解决这个问题。

程序代码如下：

function [x, fval, iter] = conjugate_gradient_method(f, x0, epsilon)
% conjugate_gradient_method - 使用共轭梯度法求解无约束优化问题
%
% 语法:
%   [x, fval, iter] = conjugate_gradient_method(f, x0, epsilon)
%
% 输入参数:
%   - f: 目标函数句柄，输入为一个 n 维列向量，输出为一个标量。
%   - x0: 初始化点，一个 n 维列向量。
%   - epsilon: 精度要求。
%
% 输出参数:
%   - x: 优化得到的最优点，一个 n 维列向量。
%   - fval: 目标函数在最优点处的函数值。
%   - iter: 迭代次数。
%
% 示例:
%   >> f = @(x) 100*(x(1)^2 - x(2))^2 + (x(1) - 1)^2;
%   >> x0 = [0; 0];
%   >> epsilon = 1e-4;
%   >> [x, fval, iter] = conjugate_gradient_method(f, x0, epsilon);

% 设置参数
maxit = 1000;  % 最大迭代次数
alpha = 0.01;  % 步长因子

% 初始化
n = length(x0);
x = x0;
g = gradient(f, x);
d = -g;
iter = 0;

% 迭代
while norm(g) > epsilon && iter < maxit
    alpha = line_search(f, x, d);
    x = x + alpha * d;
    g_old = g;
    g = gradient(f, x);
    beta = norm(g)^2 / norm(g_old)^2;
    d = -g + beta * d;
    iter = iter + 1;
end

fval = f(x);

end

function g = gradient(f, x)
% gradient - 计算目标函数在某点处的梯度。
%
% 语法:
%   g = gradient(f, x)
%
% 输入参数:
%   - f: 目标函数句柄，输入为一个 n 维列向量，输出为一个标量。
%   - x: 梯度计算点，一个 n 维列向量。
%
% 输出参数:
%   - g: 目标函数在 x 处的梯度，一个 n 维列向量。

h = 1e-5;
n = length(x);
g = zeros(n, 1);

for i = 1:n
    e = zeros(n, 1);
    e(i) = 1;
    g(i) = (f(x + h * e) - f(x - h * e)) / (2 * h);
end

end

function alpha = line_search(f, x, d)
% line_search - 使用线性搜索确定步长。
%
% 语法:
%   alpha = line_search(f, x, d)
%
% 输入参数:
%   - f: 目标函数句柄，输入为一个 n 维列向量，输出为一个标量。
%   - x: 当前迭代点，一个 n 维列向量。
%   - d: 当前迭代方向，一个 n 维列向量。
%
% 输出参数:
%   - alpha: 确定的步长。

alpha = 1;
rho = 0.5;
c = 1e-4;
f0 = f(x);
g0 = gradient(f, x)' * d;

while f(x + alpha * d) > f0 + c * alpha * g0
    alpha = rho * alpha;
end

end

在 Matlab 环境下，使用上述代码执行以下命令：

>> f = @(x) 100*(x(1)^2 - x(2))^2 + (x(1) - 1)^2;
>> x0 = [0; 0];
>> epsilon = 1e-4;
>> [x, fval, iter] = conjugate_gradient_method(f, x0, epsilon);

就可以得到最优解 $x$、目标函数在最优解处的函数值 $fval$ 和迭代次数 $iter$。

请注意，由于共轭梯度法是一种迭代算法，其结果取决于初始点的选择。因此，对于不同的初始点，可能会得到不同的最优解。