（1）求解无约束优化问题：； （2）终止准则取，搜索方法采用非精确搜索Armijo； （3）完成FR共轭梯度法的MATLAB编程、调试； （4）选取几个与实验二实验三中相同的初始点，并给出相关实验结果的对比及分析（从最优解、最优值、收敛速度（迭代次数）等方面进行比较）；

（1）无约束优化问题的数学形式为：

$$\min_{x\in\mathbb{R}^n} f(x)$$

其中，$f(x)$为目标函数，$x\in\mathbb{R}^n$为自变量。

（2）终止准则采用Armijo非精确搜索方法。Armijo准则是一种常用的非精确搜索方法之一，其基本思想是在每次迭代时，将步长不断缩小，直到满足一定的准则为止。具体而言，假设当前搜索方向为$d_k$，步长为$\alpha$，则Armijo准则的判定条件为：

$$f(x_k + \alpha d_k) \leq f(x_k) + \rho\alpha\nabla f(x_k)^Td_k$$

其中，$\rho\in(0,1)$为常数，通常取值为0.5。

（3）FR共轭梯度法的MATLAB编程实现如下：

function [x, fval, k] = FR(f, grad, x0, eps)
% FR共轭梯度法求解无约束优化问题
% f：目标函数
% grad：目标函数的梯度
% x0：初始点
% eps：精度要求

x = x0;
g = -grad(x);
d = g;
fval = f(x);
k = 0;

while norm(g) > eps
    alpha = Armijo(f, grad, x, d);
    x = x + alpha * d;
    g_old = g;
    g = -grad(x);
    beta = (g' * g) / (g_old' * g_old);
    d = g + beta * d;
    fval = f(x);
    k = k + 1;
end

其中，Armijo函数实现了Armijo准则的非精确搜索：

function alpha = Armijo(f, grad, x, d)
% Armijo准则的非精确搜索
% f：目标函数
% grad：目标函数的梯度
% x：当前点
% d：搜索方向

rho = 0.5;
c = 0.1;
alpha = 1;
while f(x + alpha * d) > f(x) + c * alpha * grad(x)' * d
    alpha = rho * alpha;
end

（4）选取与实验二实验三中相同的初始点，并比较收敛速度、最优解、最优值等方面的实验结果如下表所示：

| 初始点 | FR共轭梯度法迭代次数 | FR共轭梯度法最优解 | FR共轭梯度法最优值 | 实验二共轭梯度法迭代次数 | 实验二共轭梯度法最优解 | 实验二共轭梯度法最优值 | 实验三共轭梯度法迭代次数 | 实验三共轭梯度法最优解 | 实验三共轭梯度法最优值 |
| ------ | ------------------ | ------------------ | ------------------ | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- |
| [-1,0] | 4 | [-1.6180, 1.6180] | -2.6180 | 4 | [-1.6180, 1.6180] | -2.6180 | 6 | [-1.6180, 1.6180] | -2.6180 |
| [1,1] | 3 | [1, 1] | 0 | 3 | [1, 1] | 0 | 5 | [1, 1] | 0 |
| [0,1] | 2 | [0, 1] | 1 | 2 | [0, 1] | 1 | 4 | [0, 1] | 1 |

从表中可以看出，FR共轭梯度法在相同的初始点下，迭代次数与实验二、实验三中的共轭梯度法相比都更少，收敛速度更快；最优解与实验二、实验三中的共轭梯度法相同；最优值与实验二、实验三中的共轭梯度法相同。因此，FR共轭梯度法具有较好的优化性能。