写出二维离散傅里叶变换的卷积定理。
时间: 2023-09-16 09:15:28 浏览: 100
二维离散傅里叶变换的卷积定理可以表述为:
设 $f(x,y)$ 和 $g(x,y)$ 是二维离散信号,它们的二维离散傅里叶变换分别为 $F(u,v)$ 和 $G(u,v)$,则它们的卷积 $f(x,y) * g(x,y)$ 的离散傅里叶变换为 $F(u,v) \cdot G(u,v)$,即:
$$\mathcal{F}\big\{f(x,y) * g(x,y)\big\}(u,v) = F(u,v) \cdot G(u,v)$$
其中,$\mathcal{F}$ 表示二维离散傅里叶变换。
相关问题
证明二维离散傅立叶变换相关定理
二维离散傅立叶变换相关定理是指在二维离散傅立叶变换中,两个信号的相关性等于它们的傅立叶变换的乘积的逆变换的中心点的值。
具体地,设$x(n_1,n_2)$和$y(n_1,n_2)$是两个长度为$N_1$和$N_2$的二维离散信号,它们的二维离散傅立叶变换分别是$X(k_1,k_2)$和$Y(k_1,k_2)$,则它们的相关性定义为:
$$R_{xy}(m_1,m_2)=\sum_{n_1=0}^{N_1-1}\sum_{n_2=0}^{N_2-1}x(n_1,n_2)y(n_1+m_1,n_2+m_2)$$
它们的二维离散傅立叶变换的乘积是:
$$X(k_1,k_2)Y(k_1,k_2)$$
它们的逆变换是:
$$\frac{1}{N_1N_2}\sum_{k_1=0}^{N_1-1}\sum_{k_2=0}^{N_2-1}X(k_1,k_2)Y(k_1,k_2)e^{j2\pi(\frac{m_1k_1}{N_1}+\frac{m_2k_2}{N_2})}$$
两者的中心点的值相等,即:
$$R_{xy}(0,0)=\frac{1}{N_1N_2}\sum_{k_1=0}^{N_1-1}\sum_{k_2=0}^{N_2-1}X(k_1,k_2)Y(k_1,k_2)$$
因此,二维离散傅立叶变换相关定理成立。
写出二维离散傅里叶变换的公式,并解释其含义。
二维离散傅里叶变换(2D DFT)的公式如下:
$F(u,v) = \sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-i2\pi(\frac{ux}{N}+\frac{vy}{N})}$
其中,$f(x,y)$ 是二维离散信号,$F(u,v)$ 是其在频域中的表示,$N$ 是信号的长度和宽度,$u$ 和 $v$ 是频率变量。
二维离散傅里叶变换的含义是将一个二维离散信号 $f(x,y)$ 转换成其在频域中的表示 $F(u,v)$,其中 $F(u,v)$ 表示了频率为 $u$ 和 $v$ 的正弦波在信号中的贡献。也就是说,$F(u,v)$ 可以描述信号中存在的各种频率成分。
在实际应用中,2D DFT 常用于图像处理领域中,可以用于图像压缩、滤波、去噪等。
相关推荐
![-](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_lunwen.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)