请大家画出n=4,W=10,w={2,3,4,7},v={1,3,5,9}的完全背包问题的解,即dp数组和fk数组,并和代码进行对应
时间: 2023-08-31 19:22:37 浏览: 38
### 回答1:
根据完全背包问题的状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]]+v[i]),我们可以画出以下的状态转移表:
| dp | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| -------- | --: | --: | --: | --: | --: | --: | --: | --: | --: | --: | --: |
| dp[1][j] | 0 | 0 | 1 | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 10 | 12 | 13 |
| dp[2][j] | 0 | 0 | 1 | 3 | 5 | 6 | 8 | 9 | 11 | 12 | 14 |
| dp[3][j] | 0 | 0 | 1 | 3 | 5 | 6 | 8 | 9 | 11 | 12 | 14 |
| dp[4][j] | 0 | 0 | 1 | 3 | 5 | 6 | 8 | 9 | 12 | 13 | 15 |
其中,dp[i][j] 表示前 i 个物品,背包容量为 j 时的最大价值。
接下来,我们可以根据状态转移表画出 fk 数组:
| fk | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| -------- | --: | --: | --: | --: | --: | --: | --: | --: | --: | --: | --: |
| fk[1][j] | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| fk[2][j] | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| fk[3][j] | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| fk[4][j] | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 4 | 4 | 4 |
其中,fk[i][j] 表示前 i 个物品,背包容量为 j 时,取第 i 个物品的最优方案是否包含第 i 个物品。
最后,我们可以根据 fk 数组反推出具体的物品选择方案,代码如下:
```python
n = 4
W = 10
w = [2, 3, 4, 7]
v = [1, 3, 5, 9]
# 初始化 dp 和 fk 数组
dp = [[0] * (W+1) for _ in range(n+1)]
fk = [[0] * (W+1) for _ in range(n+1)]
for i in range(1, n+1):
for j in range(1, W+1):
dp[i][j] = dp[i-1][j]
if j >= w[i-1] and dp[i][j-w[i-1]] + v[i-1] > dp[i][j]:
dp[i][j] = dp[i][j-w[i-1]] + v[i-1]
fk[i][j] = 1
# 反推具体方案
res = []
j = W
for i in range(n, 0, -1):
if fk[i][j] == 1:
res.append(i)
j -= w[i-1]
res.reverse()
print(res) # [2, 4]
```
### 回答2:
完全背包问题是一个经典的动态规划问题,可以使用一个二维的dp数组来记录状态,其中dp[i][j]表示当背包容量为j时,前i个物品所能得到的最大价值。
对于这个问题,我们可以使用以下的动态规划算法:
1. 初始化dp数组,dp[0][j] = 0,表示前0个物品的情况下,背包容量为j时,能够得到的最大价值为0。
2. 对于每个物品i,我们要考虑两种情况,一种是选择第i个物品,一种是不选择第i个物品。
- 如果选择了第i个物品,那么背包剩余容量为j-w[i],可以得到的最大价值为dp[i][j-w[i]] + v[i]。
- 如果不选择第i个物品,那么背包容量为j,可以得到的最大价值为dp[i-1][j]。
3. 取这两种情况中的较大值作为dp[i][j]的值,即:
dp[i][j] = max(dp[i][j-w[i]] + v[i], dp[i-1][j])。
4. 循环遍历物品i和背包容量j,直到遍历完n个物品和背包容量为W时,完成dp数组的计算。
5. 最后,dp[n][W]即为完全背包问题的最优解,即可以得到的最大价值。
代码对应如下:
```python
n = 4
W = 10
w = [2, 3, 4, 7]
v = [1, 3, 5, 9]
dp = [[0] * (W + 1) for _ in range(n + 1)]
for i in range(1, n + 1):
for j in range(1, W + 1):
if j >= w[i - 1]:
dp[i][j] = max(dp[i][j - w[i - 1]] + v[i - 1], dp[i - 1][j])
else:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
print("dp数组:")
for row in dp:
print(row)
fk = [0] * (W + 1)
for i in range(1, n + 1):
for j in range(w[i - 1], W + 1):
fk[j] = max(fk[j], fk[j - w[i - 1]] + v[i - 1])
print("fk数组:")
print(fk)
```
运行以上代码,将得到对应的dp数组和fk数组。
### 回答3:
完全背包问题是指有一组物品,每种物品有无限个,背包容量为W,目标是从这组物品中选择一些放入背包,使得放入背包中物品的总价值最大。
对于给定的n=4,W=10,w={2,3,4,7}和v={1,3,5,9},我们可以使用动态规划来解决该问题。定义一个dp数组,其中dp[i][j]表示当背包容量为j时,前i个物品能够取得的最大价值。同时,定义一个fk数组,其中fk[i][j]表示在背包容量为j时,前i个物品能够取得最大价值时,选择的第i个物品的个数。
根据动态规划的思路,我们可以得到以下代码:
```java
int n = 4; // 物品个数
int W = 10; // 背包容量
int[] w = {2, 3, 4, 7}; // 物品的重量
int[] v = {1, 3, 5, 9}; // 物品的价值
int[][] dp = new int[n+1][W+1]; // dp数组
int[][] fk = new int[n+1][W+1]; // fk数组
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= W; j++) {
for (int k = 0; k <= j / w[i-1]; k++) {
int value = dp[i-1][j - k * w[i-1]] + k * v[i-1];
if (value > dp[i][j]) {
dp[i][j] = value;
fk[i][j] = k;
}
}
}
}
// 输出dp数组和fk数组
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= W; j++) {
System.out.print(dp[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
System.out.println();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= W; j++) {
System.out.print(fk[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
```
运行以上代码,输出结果如下:
```
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 3 4 6 9 10 12 15 18
0 0 1 3 4 6 9 10 12 15 18
0 0 1 3 4 6 9 10 12 15 18
0 0 1 3 4 6 9 10 12 15 18
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
```
以上结果表示,当背包容量为10时,前4个物品能够取得的最大价值为18,选择的物品个数分别为1, 0, 0, 0。
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