设随机变量 X 服从参数为 2的 泊松分布， 计算 P(|X-2|>=4).

由于 $X$ 服从参数为 2 的泊松分布，因此 $X$ 的概率质量函数为：

$$P(X=k)=\frac{2^k}{k!}e^{-2},\quad k=0,1,2,\ldots$$

利用概率的性质，有：

$$
\begin{aligned}
P(|X-2|\geq 4)&=P(X-2\leq -4\text{ 或 }X-2\geq 4)\\
&=P(X\leq -2\text{ 或 }X\geq 6)\\
&=1-P(0\leq X\leq 5)\\
&=1-\sum_{k=0}^5 P(X=k)\\
&=1-\sum_{k=0}^5 \frac{2^k}{k!}e^{-2}\\
&\approx 0.016
\end{aligned}
$$

因此，$P(|X-2|\geq 4)\approx 0.016$。

相关问题

matlab解决某烟花厂，一天中发生着火现象的次数X是一个随机变量，假设 它服从以为参数的泊松分布，参数未知。现有以下样本值： 着火次数k 0 1 2 3 4 5 6 发生着火的天数 75 90 54 22 6 2 1 试求的极大似然估计值。

根据题目描述，假设着火现象的次数 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，参数未知。现有样本值如下：

| 着火次数 $k$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| :----------: |:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
| 发生着火的天数 | 75 | 90 | 54 | 22 | 6 | 2 | 1 |

求参数 $\lambda$ 的极大似然估计值。

泊松分布的概率质量函数为：

$$P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},\ k=0,1,2,\cdots$$

样本中的每一个观测值都是独立的，因此似然函数为：

$$L(\lambda)=\prod_{i=1}^{n}\frac{\lambda^{k_i}e^{-\lambda}}{k_i!}=\frac{\lambda^{\sum_{i=1}^{n}k_i}e^{-n\lambda}}{\prod_{i=1}^{n}k_i!}$$

对似然函数取对数，得到对数似然函数：

$$\ln L(\lambda)=\left(\sum_{i=1}^{n}k_i\right)\ln\lambda-n\lambda-\sum_{i=1}^{n}\ln k_i!$$

为了求得极大似然估计值，需要对对数似然函数求导数，并令导数等于零，解得：

$$\hat{\lambda}_{\text{MLE}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}k_i$$

代入样本数据可得：

$$\hat{\lambda}_{\text{MLE}}=\frac{1}{252}(0\times75+1\times90+2\times54+3\times22+4\times6+5\times2+6\times1)\approx1.34$$

因此，参数 $\lambda$ 的极大似然估计值为 $\hat{\lambda}_{\text{MLE}}=1.34$。

matlab求：某烟花厂，一天中发生着火现象的次数X是一个随机变量，假设 它服从以为参数的泊松分布，参数未知。现有以下样本值： 着火次数k 0 1 2 3 4 5 6 发生着火的天数 75 90 54 22 6 2 1 试求的极大似然估计值。

根据题目描述，烟花厂一天中发生着火现象的次数 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布。样本值如下所示：

| 着火次数 $k$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ------------ | - | - | - | - | - | - | - |
| 发生着火的天数 | 75 | 90 | 54 | 22 | 6 | 2 | 1 |

设样本总数为 $n$，则样本的似然函数为：

$$
L(\lambda; x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n \frac{\lambda^{x_i}}{x_i!} e^{-\lambda}
$$

对似然函数取对数，得到对数似然函数：

$$
\ln L(\lambda; x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_{i=1}^n \ln \left(\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!} e^{-\lambda} \right) = \sum_{i=1}^n \left(x_i \ln \lambda - \ln x_i! - \lambda \right)
$$

对对数似然函数求导，得到：

$$
\frac{\partial}{\partial \lambda} \ln L(\lambda; x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i}{\lambda} - 1 \right)
$$

令导数等于零，解得极大似然估计值为：

$$
\hat{\lambda} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i
$$

即为样本的均值。因此，代入样本数据可得：

$$
\hat{\lambda} = \frac{1}{252} (0\times75 + 1\times90 + 2\times54 + 3\times22 + 4\times6 + 5\times2 + 6\times1) \approx 1.25
$$

因此，烟花厂一天中发生着火现象的次数的极大似然估计值为 $\hat{\lambda} \approx 1.25$。