C++计算正整数有多少种因子不为一的分解式

在C++中，要计算一个正整数有多少种因子不为一的分解式，我们可以使用数论中的一个概念，即质因数分解。每一个正整数都可以分解成质因数的乘积，例如12可以分解为2^2 * 3^1。因子不为一的分解式意味着我们只考虑至少含有一个质因数的分解。

我们可以按照以下步骤来计算分解式的数量：

1. 使用埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）找出一个足够大的数N的所有质数。
2. 对于每一个质数p，计算原数n可以被p整除的次数，这可以通过不断除以p直到n不能被p整除为止来实现。
3. 对于每一个质因数p及其对应的指数，因子不为一的分解式的数量就是每个质因数的指数加一之后相乘的结果。即如果一个数可以分解为p^a * q^b * r^c...，那么不为一的分解式的数量是(a+1) * (b+1) * (c+1)...

例如，对于数字12，其质因数分解为2^2 * 3^1。因子不为一的分解式有：
- 不包含质因数：0种
- 包含一个2：(2+1)种
- 包含一个3：(1+1)种
- 包含一个2和一个3：(2+1)*(1+1)种
所以总的分解式数量是0 + 3 + 2 + 6 = 11种。

下面是C++代码的示例：

#include <iostream>
#include <vector>

// 计算因子不为一的分解式数量
int countFactorization(int n) {
    int count = 1;  // 1种分解方式是空集（没有质因数）
    for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {
        int e = 0;
        // 计算n包含质因数p的指数
        while (n % p == 0) {
            n /= p;
            e++;
        }
        // 如果指数大于0，将指数加1后乘到总数上
        if (e > 0) {
            count *= (e + 1);
        }
    }
    // 如果n此时大于1，那么它自身就是一个质数
    if (n > 1) {
        count *= 2;  // n有一个质因数分解和一个不含该质因数的分解
    }
    return count;
}

int main() {
    int n;
    std::cout << "请输入一个正整数：";
    std::cin >> n;
    std::cout << "因子不为一的分解式数量为：" << countFactorization(n) << std::endl;
    return 0;
}

在使用上述程序时，你需要输入一个正整数，程序会输出该数因子不为一的分解式数量。