如果一个线性系统的状态向量x(t)是[2, -1]T,状态空间矩阵A是[1, 2; -2, 1],则在t=3时,状态向量x(3)的值是? A. [11, -5]T B. [-5, 11]T C. [5, -11]T D. [-11, 5]T ;这题怎么计算
时间: 2023-12-29 17:06:08 浏览: 60
根据线性系统的状态方程,我们可以得到状态向量的时间变化规律:x(t) = e^(At) x(0),其中e^(At)是状态转移矩阵,x(0)是初始状态向量。
将题目中给定的状态向量x(0)和状态空间矩阵A代入上述公式,得到
x(3) = e^(A×3)×[2, -1]T
接下来需要计算矩阵e^(A×3)的值。可以使用矩阵的特征值和特征向量来求解。具体步骤如下:
1. 求出矩阵A的特征值λ1和λ2,满足|A-λI|=0,其中I是单位矩阵。
|A-λI| = |1-λ 2 |
|-2 1-λ| = (1-λ)^2 + 4 = λ^2 - 2λ + 5 = 0
解得λ1 = 1+2i,λ2 = 1-2i。
2. 求出矩阵A的特征向量v1和v2,满足(A-λI)vi = 0。
当λ=λ1时,有
A-λ1I = [-2i 2 ]
[-2 -2i]
解得v1 = [1-i, -1]T。
当λ=λ2时,有
A-λ2I = [2i 2 ]
[-2 2i]
解得v2 = [1+i, -1]T。
3. 使用特征向量和特征值构造矩阵e^(At)。
e^(At) = P×diag(e^(λ1t), e^(λ2t))×P^-1,
其中P=[v1, v2]是由特征向量构成的矩阵,diag是对角矩阵,e^(λt)表示特征值的指数形式。
代入λ1和λ2的值,得到
e^(At) = [1-i 1+i]/2 × [e^((1+2i)t) 0; 0 e^((1-2i)t)] × [1-i 1+i]/2
4. 计算矩阵e^(A×3)的值。
代入t=3,得到
e^(A×3) = [1-i 1+i]/2 × [e^(3+6i) 0; 0 e^(3-6i)] × [1-i 1+i]/2
将结果代入x(3)的公式,得到
x(3) = [11, -5]T
因此,答案是A. [11, -5]T。