2yy'-(y^2)/x=-x解微分方程,使用伯努利公式法求解
时间: 2023-11-21 18:04:32 浏览: 16
首先将方程化为标准形式:
$$
y' - \frac{1}{2} \cdot \frac{y^2}{xy} = -\frac{1}{2}x
$$
然后令 $z = y^{-1}$,则有 $y = z^{-1}$,$y' = -z^{-2}z'$,代入原方程得:
$$
-z^{-2}z' - \frac{1}{2} \cdot \frac{z^{-2}}{x} = -\frac{1}{2}x
$$
整理得:
$$
z' + \frac{1}{2} \cdot \frac{z}{x} = \frac{1}{2}x z^2
$$
这是一个一阶非齐次伯努利方程,可以使用伯努利公式来求解。令 $w = z^{1-2}$,则有 $z = w^{-\frac{1}{2}}$,$z' = -\frac{1}{2}w^{-\frac{3}{2}}w'$,代入得:
$$
-\frac{1}{2}w^{-\frac{3}{2}}w' + \frac{1}{2} \cdot \frac{w^{-\frac{1}{2}}}{x} = \frac{1}{2}x w^2
$$
整理得:
$$
w' - \frac{1}{x}w = -xw^{\frac{5}{2}}
$$
这是一个一阶非齐次线性微分方程,可以使用一阶线性微分方程的通解公式来求解。首先求出其齐次方程的通解:
$$
w_h(x) = c \cdot x
$$
然后求出其非齐次方程的一个特解,可以猜测特解形如 $w_p(x) = a x^{\frac{-2}{3}}$,代入得:
$$
a \cdot \frac{2}{3} x^{-\frac{5}{3}} + \frac{1}{x} \cdot a x^{-\frac{2}{3}} = -a x^{\frac{1}{3}}
$$
解得 $a = -\frac{3}{5}$,因此特解为 $w_p(x) = -\frac{3}{5}x^{-\frac{2}{3}}$。于是非齐次方程的通解为:
$$
w(x) = w_h(x) + w_p(x) = c \cdot x - \frac{3}{5}x^{-\frac{2}{3}}
$$
代入 $z = w^{-\frac{1}{2}}$,得到:
$$
z(x) = \frac{1}{\sqrt{c \cdot x - \frac{3}{5}x^{-\frac{2}{3}}}}
$$
代入 $y = z^{-1}$,得到:
$$
y(x) = \sqrt{c \cdot x - \frac{3}{5}x^{-\frac{2}{3}}}
$$
这就是微分方程的通解。