假设用于通信的电文由字符集{a,b,c,d,e,f,g}中的字母构成。它们在电文中出现的频度分别为{0.31,0.16,0.10,0.08,0.11,0.20,0.04}, ‍ 1）为这7个字母设计哈夫曼编码； ‍ 2）为这7个字母设计等长编码，至少需要几位二进制数？ ‍ 3）哈夫曼编码比等长编码使电文总长压缩多少？ ‍ 请画出哈夫曼树的构造过程，完成上述三问，

1. 哈夫曼编码的构造过程：

首先将出现频率从小到大排列，得到以下序列：

{(d,0.08), (c,0.10), (e,0.11), (b,0.16), (f,0.20), (a,0.31), (g,0.04)}

然后将频率最小的两个字母合并成一个新节点，其频率为这两个字母的频率之和。这样得到的新节点再参与下一轮比较，直到最后构造出哈夫曼树。

最终得到的哈夫曼编码如下：

a: 0

b: 101

c: 1001

d: 10000

e: 110

f: 111

g: 10001

2. 等长编码需要使用 $\lceil\log_2 7\rceil=3$ 位二进制数来表示每个字母，所以至少需要 21 位二进制数。

3. 计算哈夫曼编码与等长编码的电文总长：

哈夫曼编码：0.31×1+0.16×3+0.10×4+0.08×5+0.11×3+0.20×3+0.04×5=2.31

等长编码：7×3=21

所以哈夫曼编码比等长编码使电文总长压缩了 $1-\frac{2.31}{21}\approx89.0\%$。

相关问题

假设用于通信的电文由字符集 {a.b,c,d,e,f,g}中的字母构成，它们在电文中出现的频度分别为 {0.31，0.16, 0.10，0.08， 0.11， 0.20，0.04｝。 (1）为这7个字母设计哈夫曼编码。 (2）对这7个字母进行等长编码，至少需要几位进制数？哈夫曼编码比等长编码使电文总长压缩多少？

你的问题已经收到，现在开始回答：

(1) 根据哈夫曼编码的原理，我们需要先构建哈夫曼树，然后为每个字母赋予相应的编码。构建哈夫曼树的步骤如下：

- 将所有字母按照频度从小到大排序，得到 {d, g, c, e, f, b, a}。
- 取出频度最小的两个字母 d 和 g，合并成一个节点，频度为 0.04+0.20=0.24，得到如下新的列表 {c, e, f, b, a, dg}。
- 再次取出频度最小的两个字母 c 和 e，合并成一个节点，频度为 0.10+0.11=0.21，得到如下新的列表 {f, b, a, dg, ce}。
- 以此类推，最后得到如下的哈夫曼树：

       *
     /   \
    *     ce
   / \
  *   dg
 / \
f   b,a,c,e

- 对于每个字母，从根节点出发，向左走为 0，向右走为 1，得到如下编码表：

a: 111
b: 110
c: 00
d: 1010
e: 01
f: 100
g: 1011

(2) 如果对这 7 个字母进行等长编码，每个字母需要用 3 位二进制数表示。因此，总共需要 $7\times3=21$ 位二进制数。而如果使用哈夫曼编码，每个字母的编码长度不同，但是总的编码长度肯定比等长编码短。计算出来哈夫曼编码的总长度为：

$0.31\times3+0.16\times3+0.10\times2+0.08\times3+0.11\times3+0.20\times2+0.04\times4=2.32$

因此，哈夫曼编码比等长编码使电文总长压缩了：

$\frac{21-2.32}{21}\times100\%\approx89\%$。

答案：(1) 哈夫曼编码表为：a: 111, b: 110, c: 00, d: 1010, e: 01, f: 100, g: 1011；(2) 等长编码需要 21 位二进制数，哈夫曼编码需要 2.32 位二进制数，压缩率为 89%。

假设用于通信的电文仅由8个字母 {a, b, c, d, e, f, g, h} 构成，它们在电文中出现的概率分别为{ 0.07, 0.19, 0.02, 0.06, 0.32, 0.03, 0.21, 0.10 }，试为这8个字母设计哈夫曼编码

首先，我们需要按照字母出现的概率从小到大进行排序：

{c, f, a, d, h, b, g, e}

接下来，我们进行哈夫曼编码的构造过程：

1. 将概率最小的两个字母（c 和 f）合并成一个节点，并将这个节点的概率设置为它们的概率之和，得到以下的哈夫曼树：

      0.05
     /    \
    c      f

2. 将概率最小的两个字母（a 和 d）合并成一个节点，并将这个节点的概率设置为它们的概率之和，得到以下的哈夫曼树：

        0.11
       /    \
      a      d
     / \    / \
   0.07 0.06
   c     f

3. 将概率最小的两个字母（h 和 b）合并成一个节点，并将这个节点的概率设置为它们的概率之和，得到以下的哈夫曼树：

         0.21
        /    \
       h      b
      / \    / \
    0.10 0.11
         /    \
        a      d
       / \    / \
     0.07 0.06
     c     f

4. 将概率最小的两个字母（g 和 e）合并成一个节点，并将这个节点的概率设置为它们的概率之和，得到以下的哈夫曼树：

           0.43
          /    \
         /      \
        /        \
       /          \
     0.21         0.22
    /    \       /    \
   h      b     g      e
  / \    / \   / \    / \
0.10 0.11 0.03 0.19 0.32
     /    \
    a      d
   / \    / \
 0.07 0.06
 c     f

最终得到的哈夫曼编码如下：

a: 1100

b: 1101

c: 10000

d: 10001

e: 111

f: 1010

g: 0

h: 1001

这样，我们就完成了对电文的哈夫曼编码设计。