假设用于通信的电文由字符集{a,b,c,d,e,f,g}构成，各个字符在电文中出现的频度分别为{31,16,10,8,11,20,4}1. 画出对应的哈夫曼树(要求左孩子权值尽可能小，哈夫曼树的高度尽可能小)2. 求出各个字符对应的哈夫曼编码

好的，我会为您解答这个问题。

1. 首先，我们需要根据各个字符出现的频度构建哈夫曼树。以下是构建过程：


2. 接下来，我们可以根据哈夫曼树来求出各个字符对应的哈夫曼编码。具体来说，从根节点开始，向左走为0，向右走为1，直到到达叶子节点。以下是各个字符对应的哈夫曼编码：

| 字符 | 出现频度 | 哈夫曼编码 |
| ---- | -------- | ---------- |
| a | 31 | 11 |
| b | 16 | 010 |
| c | 10 | 000 |
| d | 8 | 0011 |
| e | 11 | 0010 |
| f | 20 | 10 |
| g | 4 | 011 |

希望我的解答能够帮助您！

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假设用于通信的电文由字符集 {a.b,c,d,e,f,g}中的字母构成，它们在电文中出现的频度分别为 {0.31，0.16, 0.10，0.08， 0.11， 0.20，0.04｝。 (1）为这7个字母设计哈夫曼编码。 (2）对这7个字母进行等长编码，至少需要几位进制数？哈夫曼编码比等长编码使电文总长压缩多少？

你的问题已经收到，现在开始回答：

(1) 根据哈夫曼编码的原理，我们需要先构建哈夫曼树，然后为每个字母赋予相应的编码。构建哈夫曼树的步骤如下：

- 将所有字母按照频度从小到大排序，得到 {d, g, c, e, f, b, a}。
- 取出频度最小的两个字母 d 和 g，合并成一个节点，频度为 0.04+0.20=0.24，得到如下新的列表 {c, e, f, b, a, dg}。
- 再次取出频度最小的两个字母 c 和 e，合并成一个节点，频度为 0.10+0.11=0.21，得到如下新的列表 {f, b, a, dg, ce}。
- 以此类推，最后得到如下的哈夫曼树：

       *
     /   \
    *     ce
   / \
  *   dg
 / \
f   b,a,c,e

- 对于每个字母，从根节点出发，向左走为 0，向右走为 1，得到如下编码表：

a: 111
b: 110
c: 00
d: 1010
e: 01
f: 100
g: 1011

(2) 如果对这 7 个字母进行等长编码，每个字母需要用 3 位二进制数表示。因此，总共需要 $7\times3=21$ 位二进制数。而如果使用哈夫曼编码，每个字母的编码长度不同，但是总的编码长度肯定比等长编码短。计算出来哈夫曼编码的总长度为：

$0.31\times3+0.16\times3+0.10\times2+0.08\times3+0.11\times3+0.20\times2+0.04\times4=2.32$

因此，哈夫曼编码比等长编码使电文总长压缩了：

$\frac{21-2.32}{21}\times100\%\approx89\%$。

答案：(1) 哈夫曼编码表为：a: 111, b: 110, c: 00, d: 1010, e: 01, f: 100, g: 1011；(2) 等长编码需要 21 位二进制数，哈夫曼编码需要 2.32 位二进制数，压缩率为 89%。

假设用于通信的电文由字符集{a,b,c,d,e,f,g}中的字母构成。它们在电文中出现的频度分别为{0.31, 0.16, 0.10, 0.08, 0.11, 0.20, 0.04}, (1)为这7个字母设计哈夫曼编码； (2)为这7个字母设计等长编码，至少需要几位二进制数？ (3)哈夫曼编码比等长编码使电文总长压缩多少？ (4)画出哈夫曼树的构造过程

(1) 哈夫曼编码的构造过程如下：

首先将出现频率从小到大排序，得到：

字母 | 频率
----|-----
d | 0.08
c | 0.10
e | 0.11
b | 0.16
a | 0.31
g | 0.04
f | 0.20

然后将频率最小的两个字母d和c合并，得到dc。此时dc的频率为0.18。然后将频率最小的两个字母dc和e合并，得到dce。此时dce的频率为0.29。以此类推，直到合并到所有字母都在同一棵树上为止。最后得到的哈夫曼编码如下：

字母 | 频率 | 编码
----|------|-----
a | 0.31 | 0
f | 0.20 | 10
b | 0.16 | 110
e | 0.11 | 1110
dc | 0.18 | 11110
g | 0.04 | 111110
dce | 0.29 | 111111

(2) 等长编码需要至少3位二进制数才能表示7个字母，因为 $2^2 < 7 < 2^3$。

(3) 哈夫曼编码比等长编码使电文总长压缩了6.5%。具体计算方法为：

等长编码每个字母需要3位二进制数，而哈夫曼编码则需要：

a: 1位

f: 2位

b: 3位

e: 4位

dc: 5位

g: 6位

dce: 6位

因此，如果电文中出现了n个字母，则等长编码需要3n位二进制数，而哈夫曼编码需要：

$$1\times0.31n + 2\times0.20n + 3\times0.16n + 4\times0.11n + 5\times0.18n + 6\times0.04n + 6\times0.29n = 3.35n$$

因此，哈夫曼编码比等长编码压缩了 $(3.35-3)/3.35 \times 100\% \approx 6.5\%$。

(4) 哈夫曼树的构造过程如下图所示：

其中，每个节点的权值表示该节点对应的字母的频率。在构造哈夫曼树时，每次选择频率最小的两个节点合并成一个新节点，直到所有节点都在同一棵树上。最后的根节点就对应整个字母集合的哈夫曼编码。