对二分类问题，采用朴素贝叶斯进行分类，如果两个类的先验概率相等，两个类的特征向量均服从高斯分布，且其方差相等，即 p(x,|q)~ N(u,σ°), 其中n是特征个数u;=(Un...Um)'i=0,1，试证明其分类判别函数为如下的线性函数形式: sgn(w' x+ b)

根据贝叶斯定理，对于一个待分类的样本 x，分类为类别 i 的后验概率为：

P(y=i|x) = P(x|y=i)P(y=i) / P(x)

其中，P(x|y=i) 表示特征向量 x 在类别 i 下的条件概率，可以假设服从高斯分布：

P(x|y=i) = 1 / [(2π)^(n/2) σ^n] * exp(-1/2 * (x-u_i)' * (x-u_i) / σ^2)

P(y=i) 表示先验概率，因为两个类的先验概率相等，所以 P(y=0) = P(y=1) = 1/2。

P(x) 表示边缘概率，对于分类判别函数的计算没有用处，可以忽略。

因此，判别函数可以表示为：

P(y=1|x) / P(y=0|x) = [P(x|y=1)P(y=1)] / [P(x|y=0)P(y=0)]

= exp[-1/2 * (x-u_1)' * (x-u_1) / σ^2 + 1/2 * (x-u_0)' * (x-u_0) / σ^2]

= exp[(u_0 - u_1)' * x / σ^2 + (u_1' u_1 - u_0' u_0) / 2σ^2]

其中，最后一个等号是因为一些常数被忽略了。

可以发现，这个判别函数是一个线性函数，即：

sgn(w' x + b)

其中，w = (u_1 - u_0) / σ^2，b = (u_0' u_0 - u_1' u_1) / 2σ^2。

相关问题

使用 matlab 编程构造朴素贝叶斯分类器，并 对 MNIST 手写字符数据集应用朴素贝叶斯分类器完成分类。

好的，我会为您解答这个问题。

首先，朴素贝叶斯分类器是一种基于贝叶斯定理的分类器，它假设所有特征都是条件独立的，即一个特征的出现与其他特征的出现无关。在使用朴素贝叶斯分类器进行分类时，我们需要先根据已知类别的训练数据，计算出每个类别下每个特征的概率分布。然后，对于一个新的样本，根据这些概率分布计算出该样本属于每个类别的概率，选择概率最大的类别作为该样本的分类。

针对您的问题，我们可以使用 MATLAB 编程构造朴素贝叶斯分类器，并对 MNIST 手写字符数据集应用该分类器完成分类。下面是具体步骤：

1. 加载数据集

我们可以使用 MATLAB 自带的 load 函数来加载 MNIST 数据集，代码如下：

load('mnist.mat');

2. 数据预处理

MNIST 数据集中的每个样本都是一个 $28\times 28$ 的灰度图像，我们可以将其转换为一个 $784$ 维的向量。同时，为了方便起见，我们可以将像素值归一化到 $[0,1]$ 范围内。代码如下：

X_train = double(trainX) / 255;
y_train = trainY;
X_test = double(testX) / 255;
y_test = testY;

其中，X_train 和 y_train 是训练集，X_test 和 y_test 是测试集。

3. 计算概率分布

对于每个特征，我们可以计算出其在每个类别下的概率分布。由于 MNIST 数据集中的特征都是连续的实数，我们可以假设每个特征在每个类别下服从高斯分布，然后根据训练集计算出每个类别下每个特征的均值和方差。代码如下：

% 计算每个类别下每个特征的均值和方差
for c = 0:9
    X_c = X_train(y_train == c, :);
    mu(c+1, :) = mean(X_c);
    sigma(c+1, :) = var(X_c);
end

% 将方差加上一个小的正数，避免出现为 0 的情况
sigma = sigma + 1e-3;

4. 进行分类

对于一个新的样本，我们可以根据高斯分布计算出该样本在每个类别下的概率，然后选择概率最大的类别作为该样本的分类。代码如下：

% 计算测试集中每个样本在每个类别下的概率
for i = 1:size(X_test, 1)
    for c = 0:9
        p(c+1) = log(1 / 10) - sum(log(sqrt(2*pi*sigma(c+1,:)))) - sum(((X_test(i,:) - mu(c+1,:)).^2) ./ (2*sigma(c+1,:)));
    end
    [~, pred_y(i)] = max(p);
end

其中，log(1/10) 表示每个类别的先验概率都是相等的。

5. 计算准确率

最后，我们可以计算出分类器在测试集上的准确率。代码如下：

acc = sum(pred_y == y_test) / length(y_test);
fprintf('朴素贝叶斯分类器在 MNIST 数据集上的准确率为 %.2f%%\n', acc*100);

完整代码如下：

load('mnist.mat');

X_train = double(trainX) / 255;
y_train = trainY;
X_test = double(testX) / 255;
y_test = testY;

% 计算每个类别下每个特征的均值和方差
for c = 0:9
    X_c = X_train(y_train == c, :);
    mu(c+1, :) = mean(X_c);
    sigma(c+1, :) = var(X_c);
end

% 将方差加上一个小的正数，避免出现为 0 的情况
sigma = sigma + 1e-3;

% 计算测试集中每个样本在每个类别下的概率
for i = 1:size(X_test, 1)
    for c = 0:9
        p(c+1) = log(1 / 10) - sum(log(sqrt(2*pi*sigma(c+1,:)))) - sum(((X_test(i,:) - mu(c+1,:)).^2) ./ (2*sigma(c+1,:)));
    end
    [~, pred_y(i)] = max(p);
end

% 计算准确率
acc = sum(pred_y == y_test) / length(y_test);
fprintf('朴素贝叶斯分类器在 MNIST 数据集上的准确率为 %.2f%%\n', acc*100);