多分类交叉熵损失函数表达式

交叉熵损失函数表达式是:

$J(\theta) = -\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{k=1}^Ky_k^{(i)}\log(\hat{y_k}^{(i)}) + (1-y_k^{(i)})\log(1-\hat{y_k}^{(i)})$

对于多分类问题，交叉熵损失函数会对每一类别预测的概率进行比较，因此可以用于多分类问题。

相关问题

交叉熵损失函数是表达式是怎么样的？或者交叉熵损失函数曲线是怎么算出来的，横轴是什么？纵轴如何计算出来？

交叉熵损失函数是常用的用于分类任务的损失函数，它可以用来衡量模型输出的概率分布与真实标签的差异。其表达式如下：

$$
L=-\sum_{i=1}^{C}y_i\log\hat{y_i}
$$

其中 $C$ 表示类别数，$y_i$ 表示真实标签的 one-hot 编码，$\hat{y_i}$ 表示模型预测的每个类别的概率值。

交叉熵损失函数曲线的横轴通常表示训练过程的迭代次数或者训练数据的 epoch 数量。纵轴表示模型预测的损失值，这个值是通过上述公式计算得到的。在训练过程中，通过不断地调整模型的参数来最小化损失函数，以期望模型能够更准确地预测出真实标签。最终的模型在测试数据上的表现也可以通过计算交叉熵损失函数来衡量。

多分类交叉熵损失函数的梯度值

多分类交叉熵损失函数是在多分类问题中常用的一种损失函数，用于衡量模型预测结果与真实标签之间的差异。其梯度值的计算可以通过求导得到。

假设有N个类别，模型的输出为一个N维向量，表示每个类别的预测概率。真实标签可以表示为一个N维的one-hot向量，其中只有一个元素为1，其余元素为0。多分类交叉熵损失函数的表达式如下：

L = -sum(y_i * log(p_i))

其中，y_i表示真实标签的第i个元素，p_i表示模型预测的第i个类别的概率。

对于第i个类别，其梯度值的计算可以分为两部分：对预测概率的导数和对输入的导数。

1. 对预测概率的导数：
dL/dp_i = -y_i / p_i

2. 对输入的导数：
dL/dz_i = p_i - y_i

其中，z_i表示模型输出的第i个类别的输入。

需要注意的是，对于其他类别j(j ≠ i)，其梯度值为：
dL/dp_j = 0
dL/dz_j = p_j

这是因为只有真实标签对应的类别才会对损失函数产生影响。