多元复合函数的求导法则

多元复合函数的求导法则可以使用链式法则进行计算，具体步骤如下：

设 $z=f(u,v)$，$u=g(x,y)$，$v=h(x,y)$，则 $z$ 对 $x$ 的偏导数为：

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}
$$

其中，$\frac{\partial z}{\partial u}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial v}$ 分别是 $z$ 对 $u$ 和 $v$ 的偏导数，$\frac{\partial u}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial x}$ 分别是 $u$ 和 $v$ 对 $x$ 的偏导数。

同理，$z$ 对 $y$ 的偏导数为：

$$
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}
$$

需要注意的是，在使用链式法则时，需要根据实际情况判断哪些变量是自变量，哪些变量是因变量，从而确定对哪些变量进行求导。

相关问题

matlab多元复合函数求导的链式法则

对于多元复合函数的求导，可以使用链式法则来进行求解。链式法则是一种用于计算复合函数导数的方法，它可以将复合函数的导数分解为多个简单函数的导数的乘积。

假设有一个多元复合函数 z = f(g(x, y)), 其中 g(x, y) 是一个二元函数，f(u) 是一个一元函数。我们想要求解 z 对于变量 x 的偏导数 (∂z/∂x)。

根据链式法则，我们可以将求导过程分为两步：

1. 求解 z 对于中间变量 u 的偏导数 (∂z/∂u)。2. 求解 u 对于变量 x 的偏导数 (∂u/∂x)。

首先，求解 z 对于 u 的偏导数 (∂z/∂u) 可以使用一元函数的求导规则进行计算。

然后，求解 u 对于 x 的偏导数 (∂u/∂x) 可以使用二元函数的偏导数规则进行计算。

最后，将两个结果相乘即可得到 z 对于 x 的偏导数 (∂z/∂x)。

以上就是使用链式法则计算多元复合函数求导的步骤。在 MATLAB 中，可以使用符号计算工具箱中的 diff 函数来进行求导计算。

复合函数求导法则推导过程

假设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是可导的函数，$y=f(u)$，其中 $u=g(x)$，则 $y$ 是 $x$ 的复合函数。我们要求解 $y$ 对 $x$ 的导数 $\frac{dy}{dx}$。

根据链式法则，$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$。

现在我们来分别求解 $\frac{dy}{du}$ 和 $\frac{du}{dx}$。

1. 求解 $\frac{dy}{du}$

根据导数的定义，$\frac{dy}{du}=\lim_{\Delta u\to0}\frac{\Delta y}{\Delta u}$。

当 $\Delta u\to0$ 时，$\Delta y=f(u+\Delta u)-f(u)$。

将 $u+\Delta u$ 代入 $y=f(u)$，得到 $y=f(u+\Delta u)$。

因此，$\Delta y=f(u+\Delta u)-f(u)=y(u+\Delta u)-y(u)$。

将 $\Delta y$ 代入导数的定义中，得到：

$$
\frac{dy}{du}=\lim_{\Delta u\to0}\frac{y(u+\Delta u)-y(u)}{\Delta u}
$$

2. 求解 $\frac{du}{dx}$

同理，$\frac{du}{dx}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta u}{\Delta x}$。

当 $\Delta x\to0$ 时，$\Delta u=g(x+\Delta x)-g(x)$。

将 $\Delta u$ 代入 $u=g(x)$，得到 $u=g(x+\Delta x)$。

因此，$\Delta u=g(x+\Delta x)-g(x)=u(x+\Delta x)-u(x)$。

将 $\Delta u$ 代入导数的定义中，得到：

$$
\frac{du}{dx}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}
$$

3. 求解 $\frac{dy}{dx}$

将 $\frac{dy}{du}$ 和 $\frac{du}{dx}$ 代入 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$，得到：

$$
\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{y(u+\Delta u)-y(u)}{\Delta u}\cdot\lim_{\Delta x\to0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}
$$

因为 $u=g(x)$，所以：

$$
\lim_{\Delta x\to0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}=\frac{du}{dx}
$$

因此，上式可以简化为：

$$
\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta u\to0}\frac{y(u+\Delta u)-y(u)}{\Delta u}\cdot\frac{du}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}
$$

这就是复合函数求导法则的推导过程。