热传导方程第三类边界条件解析解可视化matlab代码

热传导方程第三类边界条件的解析解为：

$$
u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}}\int_{0}^{x}\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4kt}\right)g(y)dy+\frac{x}{2}+\sqrt{\frac{kt}{\pi}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{3/2}}\exp\left(-\frac{n^2\pi^2 kt}{x^2}\right)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)
$$

其中，$k$ 为热扩散系数，$L$ 为杆的长度，$t$ 为时间，$g(y)$ 为边界条件函数。

以下是Matlab代码实现可视化：

% 设置参数
k = 1; % 热扩散系数
L = 10; % 杆的长度
t = 0:0.01:1; % 时间范围
x = linspace(0,L,100); % 空间范围

% 边界条件函数
g = @(y) sin(pi/L*y);

% 计算解析解
u = zeros(length(x),length(t));
for i = 1:length(t)
    for j = 1:length(x)
        u(j,i) = 1/sqrt(4*pi*k*t(i))*integral(@(y) exp(-(x(j)-y).^2/(4*k*t(i))).*g(y),0,x(j),'RelTol',1e-10);
        for n = 1:100
            u(j,i) = u(j,i) + x(j)/2 + sqrt(k*t(i)/pi)*(-1)^(n-1)/n^(3/2)*exp(-n^2*pi^2*k*t(i)/L^2)*cos(n*pi*x(j)/L);
        end
    end
end

% 绘制动态图
for i = 1:length(t)
    plot(x,u(:,i),'LineWidth',2)
    xlim([0,L])
    ylim([-1,1])
    xlabel('x')
    ylabel('u(x,t)')
    title(['t = ' num2str(t(i))])
    grid on
    drawnow
end