从一个长度为n的正数数组numbers中找出长度至少为l且几何平均值最大子数组

题目描述

给定一个长度为n的正整数数组numbers，求长度至少为l的子数组的几何平均值最大值。

解题思路

几何平均值公式为：$(a_1 \times a_2 \times ... \times a_n) ^ {\frac{1}{n}}$。

假设从第i个数开始的长度为j的子数组的几何平均值为$x_{i,j}$，则有：

$$ x_{i,j} = (numbers_i \times numbers_{i+1} \times ... \times numbers_{i+j-1}) ^ {\frac{1}{j}} $$

那么，对于每一个i，我们需要找到长度至少为l的最大几何平均值的子数组，即：

$$ max_{i} \{max_{j \geq l}\{x_{i,j}\}\} $$

也就是说，我们需要遍历数组，对于每一个i，以该数为起点，计算从该点开始长度至少为l的所有子数组的几何平均值，然后取最大值。

为了简化计算，我们可以将每个数先取log，于是几何平均值公式就变成了算术平均值公式：

$$ \left(\frac{log\ a_1 + log\ a_2 + ... + log\ a_n}{n}\right) ^ {e} $$

其中$e$为常数$e = 2.71828...$，这样我们就可以用前缀和来快速计算子数组的$log$总和。

具体实现时，我们可以用二分答案来减少计算量。对于每一个i，我们可以遍历从该点开始的所有子数组（假设总共有$m$个），计算出每个子数组的$log$总和，然后排序，取前$n$个，算出其算术平均值，与二分答案的值进行比较，确定二分答案的方向。

时间复杂度为$O(n \log n)$ （其中排序的时间复杂度为$O(m \log m)$，但$m$是$O(n^2)$级别的，故时间复杂度不变）

代码实现

以下是Python代码实现：