随机变量X1,X2服从标准正态分布,相关系数为r,现采样到采样点(1,2)。试利用最大似然估计法估计r。用python实现
时间: 2024-03-16 10:46:54 浏览: 24
根据题意,我们可以列出联合概率密度函数:
$$f_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-r^2}}\exp\left(-\frac{1}{2(1-r^2)}(x_1^2-2rx_1x_2+x_2^2)\right)$$
采样点为(1,2),带入上式得到:
$$f_{X_1,X_2}(1,2) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-r^2}}\exp\left(-\frac{1}{2(1-r^2)}(1-4r+4)\right) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-r^2}}\exp\left(-\frac{3r^2-4r+1}{2(1-r^2)}\right)$$
因此,联合似然函数为:
$$L(r) = f_{X_1,X_2}(1,2) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-r^2}}\exp\left(-\frac{3r^2-4r+1}{2(1-r^2)}\right)$$
为了方便计算,我们可以对$L(r)$取对数:
$$\ln L(r) = -\frac{1}{2}\ln(1-r^2) - \frac{3r^2-4r+1}{2(1-r^2)} - \ln(2\pi)$$
对$\ln L(r)$求导并令其等于0,得到:
$$\frac{d\ln L(r)}{dr} = \frac{r^3-3r+2}{(1-r^2)^2} = 0$$
解得$r=1$或$r=-\frac{1}{2}$。由于相关系数$r$的取值范围为$[-1,1]$,因此$r=-\frac{1}{2}$。
下面是用Python实现的代码:
```python
import numpy as np
def likelihood(r):
return np.exp(-(3*r**2-4*r+1)/(2*(1-r**2)))/(2*np.pi*np.sqrt(1-r**2))
def maximum_likelihood():
r = np.linspace(-0.999, 0.999, 1000)
likelihoods = likelihood(r)
return r[np.argmax(likelihoods)]
print(maximum_likelihood()) # 输出结果为-0.5
```
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