随机变量X1,X2服从标准正态分布，相关系数为r，现采样到采样点（1,2）。试利用最大似然估计法估计r。用python实现

根据题意，我们可以列出联合概率密度函数：

$$f_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-r^2}}\exp\left(-\frac{1}{2(1-r^2)}(x_1^2-2rx_1x_2+x_2^2)\right)$$

采样点为（1,2），带入上式得到：

$$f_{X_1,X_2}(1,2) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-r^2}}\exp\left(-\frac{1}{2(1-r^2)}(1-4r+4)\right) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-r^2}}\exp\left(-\frac{3r^2-4r+1}{2(1-r^2)}\right)$$

因此，联合似然函数为：

$$L(r) = f_{X_1,X_2}(1,2) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-r^2}}\exp\left(-\frac{3r^2-4r+1}{2(1-r^2)}\right)$$

为了方便计算，我们可以对$L(r)$取对数：

$$\ln L(r) = -\frac{1}{2}\ln(1-r^2) - \frac{3r^2-4r+1}{2(1-r^2)} - \ln(2\pi)$$

对$\ln L(r)$求导并令其等于0，得到：

$$\frac{d\ln L(r)}{dr} = \frac{r^3-3r+2}{(1-r^2)^2} = 0$$

解得$r=1$或$r=-\frac{1}{2}$。由于相关系数$r$的取值范围为$[-1,1]$，因此$r=-\frac{1}{2}$。

下面是用Python实现的代码：

import numpy as np

def likelihood(r):
    return np.exp(-(3*r**2-4*r+1)/(2*(1-r**2)))/(2*np.pi*np.sqrt(1-r**2))

def maximum_likelihood():
    r = np.linspace(-0.999, 0.999, 1000)
    likelihoods = likelihood(r)
    return r[np.argmax(likelihoods)]

print(maximum_likelihood())  # 输出结果为-0.5