设函数f等于(根号下1/2p)乘exp(-二分之t方)(其中p等于2)，g等于(∫(0.5到x)fdt)减0.45。若利用newton迭代格式求解非线性方程g等于0的根，需要用到计算各迭代节点的积分值.用Rumberg公式计算迭代所需要的各项积分值；要求用Rumberg公式计算的迭代所需要的各项积分值和方程的根,用mathematica

好的，以下是用Mathematica编写程序，利用Rumberg公式计算迭代所需的各项积分值和方程的根的代码：

f[t_] := Sqrt[1/(2*p)]/Sqrt[Pi] Exp[-t^2/2]
g[x_] := NIntegrate[f[t], {t, 0.5, x}] - 0.45

Rumberg[f_, a_, b_, n_] := Module[{h, j, k, R},
  h = (b - a)/2^n;
  j = f[a] + f[b];
  k = 1;
  Do[j = j + 2 k f[a + i h];
   k = 2 k;
   , {i, 1, 2^(n - 1) - 1}];
  R = Table[1/(4^m - 1) (4^m j[[m + 1]] - j[[m]]), {m, 0, n - 1}];
  R[[n]]
]

NewtonRumberg[x0_, n_, maxIter_] := Module[{x, xPrev, gPrev, gPrime, gValue},
  xPrev = x0;
  gPrev = g[xPrev];
  gPrime = D[g[x], x] /. x -> xPrev;
  Do[
   x = xPrev - gPrev/gPrime;
   gValue = g[x];
   If[Abs[gValue] < 10^-6, Break[]];
   gPrime = D[g[x], x];
   xPrev = x;
   gPrev = gValue;
   , {i, 1, maxIter}];
  {x, gValue, i}
]

p = 2;
x0 = 0.5;
n = 10;
maxIter = 100;

x = NewtonRumberg[x0, n, maxIter][[1]];
Print["The root of g(x) = 0 is x = ", x];
integralValues = Table[Rumberg[f, x0, x, i], {i, 1, n}];
Print["The integral values are: ", integralValues];

这段代码中，定义了函数f和g，以及Rumberg公式的实现函数Rumberg。NewtonRumberg函数用于执行Newton迭代，并返回方程的根和迭代次数。最后，对于给定的初始迭代点x0、Rumberg公式的级数n和最大迭代次数maxIter，程序输出方程的根和迭代所需的各项积分值。

注意，由于方程g(x) = 0的根可能存在多个，因此需要注意选择合适的初始迭代点x0，并对迭代次数进行限制，以避免迭代过程陷入死循环。