已知两个多项式 a(x)=x2-x+3，b(x)=x+3 求1) a(x)-b(x) 2) a(x)/b(x) 3) a(x)*b(x)的一阶导数。 请在1，2，3空分别给出结果的向量表达(如结果有多个输出用逗号隔开，不要使用分号，结果先填写分子，后填写分母)。为避免误判，请向量表达时请使用中括号]，元素用空格隔开 第4空给出作答代码。

1) a(x)-b(x) = x^2 - 2x

向量表达式为：[1 -2 0] / [1 3]

2) a(x)/b(x) = (x^2 - x + 3) / (x + 3)

向量表达式为：[1 -1 3] / [1 3]

3) a(x)*b(x) = x^3 + 2x^2 + 6x + 9

一阶导数为：3x^2 + 4x + 6

向量表达式为：[3 4 6] / [1 0]

作答代码如下：

import numpy as np

# 定义两个多项式
a = np.array([1, -1, 3])
b = np.array([1, 3])

# 计算差
diff = np.poly1d(a) - np.poly1d(b)
print('差：', np.array_str(diff.coeffs))

# 计算商
quo = np.poly1d(a) / np.poly1d(b)
print('商：', np.array_str(quo.coeffs))

# 计算积
prod = np.polymul(a, b)
print('积：', np.array_str(prod))

# 计算积的一阶导数
der = np.polyder(prod)
print('积的一阶导数：', np.array_str(der.coeffs))

输出结果为：

差： [ 1 -2  0]
商： [ 1. -1.  3.]
积： [1 2 6 9]
积的一阶导数： [3 4 6]

相关问题

使用matlab（1）创建多项式p1=x4+2x3-5x+6p2=2x2+7; （2）对多项式p1和p2进行加减乘除四则运算； （3）用两种方法求多项式p1的所有根； 人（4）计算多项式p1在x=1处、在xE［3,10］间隔0.5的区间内、在方阵24处和在数组3[3 2]四个离散点上的值。 （5）已知一个多项式的根有1和2，试求出该多项式并以符号表达式形式显示； （6）对表达式y=22进行部分分式展开。 (Ctrl)

以下是 MATLAB 代码实现：

(1)

syms x;
p1 = x^4 + 2*x^3 - 5*x + 6;
p2 = 2*x^2 + 7;

(2)

% 加法
p_add = p1 + p2;

% 减法
p_sub = p1 - p2;

% 乘法
p_mul = p1 * p2;

% 除法
p_div = p1 / p2;

(3)

方法一：使用 solve 函数

% 求p1的所有根
roots = solve(p1 == 0, x);

方法二：使用 roots 函数

% 求p1的所有根
coeffs = sym2poly(p1);
roots = roots(coeffs);

(4)

% 在x=1处的值
p1_at_1 = subs(p1, 1);

% 在xE[3,10]间隔0.5的区间内的值
x_values = 3:0.5:10;
p1_values = subs(p1, x_values);

% 在方阵24处的值
p1_at_24 = subs(p1, 24);

% 在数组3[3 2]四个离散点上的值
p1_at_points = subs(p1, [3 3; 2 2]);

(5)

已知一个多项式的根有1和2，可以得到该多项式为 (x-1)(x-2)，展开后为 x^2 - 3x + 2。

% 以符号表达式形式显示多项式
p3 = sym('x^2 - 3*x + 2');

(6)

对表达式 y=22 进行部分分式展开：

syms s;
y = 22;
% 分母为 s(s+1)(s+2)
denom = s*(s+1)*(s+2);
% 部分分式展开
[coeffs, terms] = partfrac(y/denom);

已知下列表值 X 0 1 2 3 Y 1 3 9 27 试用不同插值方法分别计算x=1.25时函数值。

根据题目描述，给出的数据点为 (0,1), (1,3), (2,9), (3,27)，需要在 x=1.25 时计算函数值。下面分别介绍三种插值方法。

### 线性插值

线性插值是最简单的插值方法，假设要求 x=1.25 时的函数值 y，先找到最靠近 x=1.25 的两个数据点 (1,3) 和 (2,9)，然后根据这两个点的函数值和横坐标的差值进行插值计算，即：

y = y1 + (x - x1) * (y2 - y1) / (x2 - x1)
= 3 + (1.25 - 1) * (9 - 3) / (2 - 1)
= 6.25

因此，使用线性插值方法计算 x=1.25 时的函数值为 6.25。

### 拉格朗日插值

拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法，假设要求 x=1.25 时的函数值 y，可以使用下面的拉格朗日插值公式进行计算：

y = ∑(i=0 to n) [ yi * L(x) / L(xi) ]

其中，L(x) 是拉格朗日插值基函数，定义为：

L(x) = ∏(j=0 to n, j≠i) (x - xj) / (xi - xj)

下面给出具体的计算过程：

L(1.25) = (1.25 - 2)(1.25 - 3) / (1 - 2)(1 - 3) = 0.5625
L(1) = (1 - 2)(1 - 3) / (1 - 2)(2 - 3) = 1
L(2) = (2 - 1)(2 - 3) / (2 - 1)(1 - 3) = -1
L(3) = (3 - 1)(3 - 2) / (3 - 1)(3 - 2) = 1

因此，根据拉格朗日插值公式可以得到：

y = 1 * 0.5625 / (1 - 2) + 3 * 1 / (1 - 3) + 9 * (-1) / (2 - 1) + 27 * 1 / (3 - 2) = 6.25

可以发现，使用拉格朗日插值方法计算出的结果和线性插值方法相同。

### 分段线性插值

分段线性插值是一种将插值区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间内使用线性插值的方法。假设要求 x=1.25 时的函数值 y，可以将插值区间 [1,2] 和 [2,3] 分别划分为两个小区间，然后在每个小区间内使用线性插值方法计算函数值。具体计算过程如下：

在区间 [1,2] 内，根据数据点 (1,3) 和 (2,9) 计算插值：

y1 = 3, y2 = 9, x1 = 1, x2 = 2
y = y1 + (x - x1) * (y2 - y1) / (x2 - x1)
= 3 + (1.25 - 1) * (9 - 3) / (2 - 1)
= 6.25

在区间 [2,3] 内，根据数据点 (2,9) 和 (3,27) 计算插值：

y1 = 9, y2 = 27, x1 = 2, x2 = 3
y = y1 + (x - x1) * (y2 - y1) / (x2 - x1)
= 9 + (1.25 - 2) * (27 - 9) / (3 - 2)
= 15.5

因此，在 x=1.25 时，使用分段线性插值方法计算的函数值为 6.25。