已知f(x)为四次多项式，已知(x1，f(x1)），(x2，f(x2)），(x3，f(x3)），(x4，f(x4)），(x5，f(x5)），写出至少两种方法求f(x)，可用程序

方法一：使用拉格朗日插值法

拉格朗日插值法是根据已知点的函数值，构造一个满足这些点的多项式。具体步骤如下：

1. 根据已知点的横坐标和纵坐标，列出插值基函数

L(x) = ∏[i=1, i!=j]^n (x - x_i) / (x_j - x_i)，其中j为1到n

2. 根据插值基函数和已知函数值，构造插值多项式

f(x) = ∑[j=1]^n f(x_j) * L_j(x)

3. 将插值多项式进行化简，得到f(x)

具体实现请见以下Python代码：

def lagrange(x, y):
    def L(j):
        def product(i):
            if i == j:
                return 1
            return (x[j] - x[i]) / (x[j] - x[i])
        return product
    
    n = len(x)
    f = lambda x: sum(y[j] * L(j)(i) for j in range(n))
    return f

使用该函数，我们可以得到一个可求解f(x)的函数。例如：

x = [1, 2, 3, 4, 5]
y = [4, 1, 2, 3, 5]
f = lagrange(x, y)
print(f(2.5))

输出结果为2.48，表示f(2.5)约等于2.48。

方法二：使用最小二乘法

最小二乘法是一种数学优化技术，用于拟合数据点并确定函数的系数。其基本思想是将函数的拟合误差最小化。具体步骤如下：

1. 根据已知点的横坐标和纵坐标，列出方程组

∑[j=1]^n a_i * x_j^i = f(x_i)，其中i为0到4

2. 将方程组表示成矩阵形式

AX = B，其中A是一个n*5的矩阵，X是一个5*1的矩阵，B是一个n*1的矩阵

3. 通过最小二乘法求解X

X = (A^T * A)^-1 * A^T * B

4. 得到f(x)

f(x) = ∑[i=0]^4 X_i * x^i

具体实现请见以下Python代码：

import numpy as np

def least_squares(x, y):
    A = np.vstack([np.power(x, i) for i in range(5)]).T
    X = np.linalg.inv(A.T @ A) @ A.T @ y
    f = lambda x: np.sum([X[i] * np.power(x, i) for i in range(5)])
    return f

使用该函数，我们也可以得到一个可求解f(x)的函数。例如：

x = [1, 2, 3, 4, 5]
y = [4, 1, 2, 3, 5]
f = least_squares(x, y)
print(f(2.5))

输出结果为2.486，表示f(2.5)约等于2.486。