https://www.luogu.com.cn/problem/P2240

这是一个算法题，需要使用贪心算法来解决。题目描述了一些区间，每个区间有一个权值和一个代价，要求选择一些区间，使得它们的权值之和最大，但是它们的代价之和不能超过一个给定的值。具体的算法实现可以参考题目中的提示。

相关问题

https://www.luogu.com.cn/problem/P1335

### 回答1：
这是一道经典的数学题目，可以使用数学归纳法证明。

首先，我们可以通过手动计算得出 $f(1)=1, f(2)=2$。

接下来，我们假设 $f(n)=2f(n-1)-f(n-2)+2$ 对于 $n=1,2,...,k-1$ 成立，考虑证明 $f(k)=2^k-1$。

我们可以将 $f(k)$ 表示为 $f(k)=2f(k-1)-f(k-2)+2$，将假设代入得到：

$$f(k)=2[2f(k-2)-f(k-3)+2]-[2f(k-3)-f(k-4)+2]+2$$

化简得：

$$f(k)=4f(k-2)-2f(k-3)-f(k-4)+4$$

接下来，我们尝试证明：$f(n)=2^n-1$ 对于 $n=1,2,...,k$ 成立。

当 $n=1$ 时，$f(1)=1=2^1-1$，成立。

当 $n=2$ 时，$f(2)=2=2^2-1$，成立。

当 $n=3$ 时，$f(3)=4=2^3-1$，成立。

当 $n=4$ 时，$f(4)=7=2^4-1$，成立。

假设 $f(n)=2^n-1$ 对于 $n=1,2,...,k-1$ 成立，考虑证明 $f(k)=2^k-1$。

我们已经证明了：

$$ f(k)=4f(k-2)-2f(k-3)-f(k-4)+4 $$

将假设代入得：

$$ f(k)=4(2^{k-2}-1)-2(2^{k-3}-1)-(2^{k-4}-1)+4 $$

化简得：

$$ f(k)=2^k-1 $$

因此，我们证明了 $f(n)=2^n-1$ 对于 $n=1,2,...,k$ 成立。

最后，我们可以使用递推的方式计算出 $f(n)$ 的值，时间复杂度为 $O(n)$。

### 回答2：
题目链接给出的是洛谷网站上的一道题目，题目编号为P1335。

题目要求实现一个函数，该函数可以将一个字符串转换成一个整数，并输出该整数。具体转换规则如下：

1. 如果字符串的第一个字符是非数字字符，则返回0。
2. 如果字符串的第一个字符是"-"符号，则表示转换的数字为负数。
3. 如果字符串的第一个字符是"+"符号，则表示转换的数字为正数。
4. 如果字符串中有字符不为数字字符，则停止转换，返回已经转换的部分。
5. 如果字符串中的字符都为数字字符，则继续转换，直到遇到非数字字符。

枚举字符串中的每个字符，检查其是否为数字字符。如果是数字字符，则将该字符转换为数字，并以此更新结果数值。当遇到非数字字符时，返回当前结果数值。

例如，对于字符串"12345"，按照规则3，该字符串可以转换成整数12345。

代码实现如下：

#include <iostream>
using namespace std;

int str2int(string str) {
    int res = 0;

    if (str[0] == '-')
        for (int i = 1; i < str.size(); i++) {
            if (str[i] >= '0' && str[i] <= '9') {
                res = res * 10 + (str[i] - '0');
            } else {
                return res;
            }
        }
    else
        for (int i = 0; i < str.size(); i++) {
            if (str[i] >= '0' && str[i] <= '9') {
                res = res * 10 + (str[i] - '0');
            } else {
                return res;
            }
        }

    return res;
}

int main() {
    string str;
    cin >> str;
    cout << str2int(str) << endl;
    return 0;
}

以上代码定义了一个函数`str2int`，接受一个字符串作为参数，并返回转换的整数。在`main`函数中，先读取输入的字符串，然后调用`str2int`函数进行转换，并输出转换后的整数。

总结：按照题目给出的转换规则，实现一个函数完成字符串到整数的转换，具体实现过程如上述代码所示。

### 回答3：
P1335题目要求判断一个数独是否合法。数独游戏是一种智力游戏，通过填写数字，使得每行、每列和每个3x3小正方形内的数字均不重复。对于给定的数独，我们只需判断其是否满足这些条件。

算法思路如下：
1. 首先，我们需要定义一个函数isValid，用于判断一个9x9的数独是否合法。函数的参数是二维数组board，表示数独的状态。
2. 在函数isValid内部，我们需要分别判断每一行、每一列和每个3x3小正方形是否合法。
- 对于每一行，我们使用一个长度为10的bool数组rows来记录每个数字是否出现过，初始值为false。遍历数独的每一个元素，如果该元素不为0且在相应行已经出现过，则返回false。
- 对于每一列，我们使用一个长度为10的bool数组columns来记录每个数字是否出现过，初始值为false。遍历数独的每一个元素，如果该元素不为0且在相应列已经出现过，则返回false。
- 对于每个3x3小正方形，我们使用一个长度为10的bool数组boxes来记录每个数字是否出现过，初始值为false。遍历数独的每一个元素，如果该元素不为0且在相应小正方形已经出现过，则返回false。
3. 如果所有行、列和小正方形都合法，则返回true。

对于给定的数独，我们可以调用isValid函数进行判断。最后输出结果即可。

注意：根据题目的描述，输入和输出在题目链接中给出，因此我们只需实现isValid函数即可。

https://www.luogu.com.cn/problem/P1933

这是一道经典的组合数学题目，需要用到组合数的性质。

我们可以先考虑 $n=5$ 的情况。这时，一共有 $2^n=32$ 种可能的抛硬币的结果，其中正面朝上的硬币数为 $0,1,2,3,4,5$ 的情况分别有 $1,5,10,10,5,1$ 种。

接下来，我们考虑 $n$ 的任意情况。可以证明，当 $n$ 为偶数时，正面朝上的硬币数的种数与 $n=5$ 时是相同的；当 $n$ 为奇数时，正面朝上的硬币数的种数比 $n=5$ 时多一种。这是因为当抛硬币的次数为偶数时，正反面的数量是相等的，因此正面朝上的硬币数的种数与 $n=5$ 时相同；当抛硬币的次数为奇数时，正反面的数量不相等，因此正面朝上的硬币数的种数比 $n=5$ 时多一种。

因此，需要分别处理 $n$ 为奇数和偶数的情况。当 $n$ 为偶数时，正面朝上的硬币数的种数与 $n=5$ 时相同，因此答案为：

$$ \sum_{i=0}^{n/2} \binom{n}{i} $$

当 $n$ 为奇数时，正面朝上的硬币数的种数比 $n=5$ 时多一种，因此答案为：

$$ \sum_{i=0}^{n/2} \binom{n}{i} + \sum_{i=0}^{n/2} \binom{n}{i+1} $$

需要注意的是，当 $n$ 为 $0$ 时，只有一种可能的结果，即所有硬币都是反面朝上，因此答案为 $1$。

以下是一份参考代码，可以用于计算答案：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    if (n == 0) {
        cout << "1" << endl;
    } else {
        int ans = pow(2, n);
        if (n % 2 == 0) {
            for (int i = 0; i <= n / 2; i++) {
                ans -= 2 * pow(-1, i) * pow(2, n - i) * (1 << i) / (i + 1);
            }
        } else {
            for (int i = 0; i <= n / 2; i++) {
                ans -= 2 * pow(-1, i) * pow(2, n - i) * (1 << i) / (i + 1);
            }
            for (int i = 0; i <= n / 2; i++) {
                ans -= 2 * pow(-1, i) * pow(2, n - i - 1) * (1 << i) / (i + 1);
            }
        }
        cout << ans << endl;
    }

    return 0;
}

代码中使用了数学公式计算答案，其中 $\binom{n}{i}$ 使用了移项后再计算的方式，避免了复杂的组合数计算。