cubic_interpolate() 如何实现三维插值

对于三维插值，我们需要使用三维网格来表示我们要插值的数据。假设我们有一个 $n\times m\times l$ 的三维网格，其中每个网格点上都有一个标量值 $f(x,y,z)$。现在我们想要在这个网格中找到一个任意位置 $(x_0, y_0, z_0)$ 上的值。

三维插值的基本思想是，首先找到离 $(x_0, y_0, z_0)$ 最近的八个网格点，然后利用这些网格点的值计算一个插值结果。最常用的三维插值方法是三线性插值，其基本思想是将三维插值问题分解成三个一维插值问题，然后对这三个方向分别进行线性插值。

具体来说，我们首先在 $x$ 方向上进行线性插值，计算出两个横向的插值结果 $f_{c_0,r_0,s_0}$ 和 $f_{c_1,r_0,s_0}$，其中 $c_0$ 和 $c_1$ 分别表示 $x_0$ 所在的两个网格点的列数，$r_0$ 和 $s_0$ 分别表示 $x_0$ 所在的两个网格点的行数和深度。具体地，我们有：

$$
f_{c_0,r_0,s_0} = f(c_0, r_0, s_0) \cdot (1-\alpha) + f(c_1, r_0, s_0) \cdot \alpha
$$

其中 $\alpha$ 是一个权重系数，满足 $0\leq\alpha\leq1$，其计算方式为：

$$
\alpha = \frac{x_0 - x_{c_0}}{x_{c_1} - x_{c_0}}
$$

其中 $x_{c_0}$ 和 $x_{c_1}$ 分别表示 $x_0$ 所在的两个网格点的列坐标。

接着，在 $y$ 方向上进行线性插值，计算出两个纵向的插值结果 $f_{c_0,r_1,s_0}$ 和 $f_{c_1,r_1,s_0}$，其计算方式与上面类似：

$$
f_{c_0,r_1,s_0} = f(c_0, r_1, s_0) \cdot (1-\beta) + f(c_1, r_1, s_0) \cdot \beta
$$

$$
\beta = \frac{y_0 - y_{r_0}}{y_{r_1} - y_{r_0}}
$$

最后，在 $z$ 方向上进行线性插值，计算出两个深度方向的插值结果 $f_{c_0,r_1,s_1}$ 和 $f_{c_1,r_1,s_1}$，其计算方式与上面类似：

$$
f_{c_0,r_1,s_1} = f(c_0, r_1, s_1) \cdot (1-\gamma) + f(c_1, r_1, s_1) \cdot \gamma
$$

$$
\gamma = \frac{z_0 - z_{s_0}}{z_{s_1} - z_{s_0}}
$$

最终的插值结果为：

$$
f(x_0, y_0, z_0) = f_{c_0,r_0,s_0} \cdot (1-\delta_x) \cdot (1-\delta_y) \cdot (1-\delta_z) + f_{c_1,r_0,s_0} \cdot \delta_x \cdot (1-\delta_y) \cdot (1-\delta_z) + f_{c_0,r_1,s_0} \cdot (1-\delta_x) \cdot \delta_y \cdot (1-\delta_z) + f_{c_1,r_1,s_0} \cdot \delta_x \cdot \delta_y \cdot (1-\delta_z) + f_{c_0,r_1,s_1} \cdot (1-\delta_x) \cdot \delta_y \cdot \delta_z + f_{c_1,r_1,s_1} \cdot \delta_x \cdot \delta_y \cdot \delta_z
$$

其中 $\delta_x = 1-\alpha$，$\delta_y = 1-\beta$，$\delta_z = 1-\gamma$。