给定两个有序数组A[1..n]和B[1..n]和一个整数k,请设计一个算法用O(log n)的时间找到这两个数组中第k小的元素.

可以使用二分查找的思想进行求解，首先假设A数组的长度小于等于B数组的长度，然后对于A数组寻找一个下标i，使得A[i]<=B[k-i]且A[i+1]>B[k-i-1]，此时A[i]就是第k小元素的候选答案。

这个过程可以通过二分查找来实现，每次找到A[i]和B[k-i]的中间值mid，比较A[mid]和B[k-mid]的大小关系，然后根据比较结果缩小查找范围，直到找到符合条件的i。

在程序实现过程中需要考虑一些边界情况和特殊情况，如A数组或B数组为空、k值大于两个数组长度之和等。但总的时间复杂度是O(log n)。

以下是示例代码：

def find_kth_smallest(A, B, k):
m, n = len(A), len(B)
if m > n:
A, B, m, n = B, A, n, m
i_min, i_max = 0, m
while i_min <= i_max:
i = (i_min + i_max) // 2
j = k - i
if j > n or A[i] > B[j-1]:
i_max = i - 1
elif i < m and B[j] < A[i+1]:
i_min = i + 1
else:
return A[i]