用非线性最小二乘法对 Bass 模型做参数估计

Bass模型是一种经典的市场扩散模型，用于描述某种新产品在市场上的扩散过程。其数学形式为：

$$
y(t) = p \cdot F(t) + q \cdot G(t)
$$

其中，$y(t)$ 表示在时刻 $t$ 时产品的市场占有率，$p$ 是初始市场占有率，$q$ 是最终市场占有率，$F(t)$ 是创新效应，$G(t)$ 是模仿效应。$F(t)$ 和 $G(t)$ 的形式分别为：

$$
F(t) = \frac{m^2}{p+q} \cdot \frac{e^{-(p+q)m}}{(1+(q/p)e^{-qt})^2} \cdot (1-e^{-(p+q)t})
$$

$$
G(t) = \frac{m^2q}{p+q} \cdot \frac{e^{-(p+q)m}}{(1+(q/p)e^{-qt})^2} \cdot (e^{-(p+q)t}-1)
$$

其中，$m$ 是市场容量，$t$ 是时间。

现在我们想要用非线性最小二乘法对 Bass 模型中的参数 $p$、$q$ 和 $m$ 进行估计。具体步骤如下：

1. 导入必要的库和数据

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])
y = np.array([0.0001, 0.0002, 0.0004, 0.0008, 0.0016, 0.0032, 0.0064, 0.0128, 0.0256, 0.0512])

2. 定义 Bass 模型函数

def bass_model(t, p, q, m):
    f = (m**2 / (p + q)) * ((np.exp(-(p+q)*m)) / ((1 + (q/p)*np.exp(-q*t))**2)) * (1 - np.exp(-(p+q)*t))
    g = (m**2 * q / (p + q)) * ((np.exp(-(p+q)*m)) / ((1 + (q/p)*np.exp(-q*t))**2)) * (np.exp(-(p+q)*t) - 1)
    return p*f + q*g

3. 进行拟合

popt, pcov = curve_fit(bass_model, t, y)
print('p:', popt[0])
print('q:', popt[1])
print('m:', popt[2])

其中，popt是最优拟合参数，pcov是协方差矩阵。

4. 绘制拟合曲线

plt.plot(t, y, 'bo', label='data')
plt.plot(t, bass_model(t, *popt), 'r-', label='fit')
plt.legend()
plt.show()

完整代码如下：

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])
y = np.array([0.0001, 0.0002, 0.0004, 0.0008, 0.0016, 0.0032, 0.0064, 0.0128, 0.0256, 0.0512])

def bass_model(t, p, q, m):
    f = (m**2 / (p + q)) * ((np.exp(-(p+q)*m)) / ((1 + (q/p)*np.exp(-q*t))**2)) * (1 - np.exp(-(p+q)*t))
    g = (m**2 * q / (p + q)) * ((np.exp(-(p+q)*m)) / ((1 + (q/p)*np.exp(-q*t))**2)) * (np.exp(-(p+q)*t) - 1)
    return p*f + q*g

popt, pcov = curve_fit(bass_model, t, y)
print('p:', popt[0])
print('q:', popt[1])
print('m:', popt[2])

plt.plot(t, y, 'bo', label='data')
plt.plot(t, bass_model(t, *popt), 'r-', label='fit')
plt.legend()
plt.show()

运行代码，即可得到拟合图和参数估计结果。